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Fractions partielles

Décomposez une fraction rationnelle en éléments simples prêts à intégrer : 1 sur (x − 1)(x − 2) devient −1/(x − 1) + 1/(x − 2). Les facteurs répétés et quadratiques irréductibles sont aussi pris en charge. Gratuit dans votre navigateur.

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La décomposition en fractions partielles réécrit une fonction rationnelle propre N de x sur D de x comme somme de pièces rationnelles plus simples dont les dénominateurs sont des puissances des facteurs linéaires réels et quadratiques irréductibles de D. Cette somme est le montage standard pour intégrer des rationnelles à la main, pour les transformées inverses de Laplace en ingénierie, et pour nettoyer des dénominateurs imbriqués dans des pipelines d'algèbre symbolique. Cette capacité prend le numérateur comme tableau de coefficients en degré croissant et le dénominateur comme liste explicite de facteurs —chaque facteur linéaire a x plus b élevé à une puissance, ou quadratique irréductible a x au carré plus b x plus c élevé à une puissance— et renvoie chaque coefficient indéterminé, une liste structurée de termes et une chaîne imprimable de la décomposition. Seules les rationnelles propres sont acceptées : si le degré du numérateur n'est pas strictement inférieur à celui du dénominateur, la requête échoue avec une erreur de validation claire pour que vous divisiez d'abord les polynômes.

Comment fonctionnent les fractions partielles avec facteurs linéaires et quadratiques

Partez d'une rationnelle propre N de x sur D de x, c'est-à-dire le degré de N strictement inférieur à celui de D après expansion du dénominateur depuis ses facteurs. Sur les réels tout polynôme non constant se factorise en pièces linéaires a x plus b et pièces quadratiques irréductibles a x au carré plus b x plus c avec discriminant non positif.

L'ansatz classique écrit un numérateur constant A sub k pour chaque puissance d'un facteur linéaire et un numérateur linéaire B sub k fois x plus C sub k pour chaque puissance d'un facteur quadratique, en collectant chaque puissance de un jusqu'à la multiplicité complète de ce facteur. Multipliez les deux côtés par D pour clarifier les dénominateurs ; le côté gauche est N et le droit devient une combinaison linéaire de polynômes connus dont les coefficients sont exactement les A, B et C inconnus.

Égaler les coefficients des mêmes puissances de x produit un système linéaire carré dont la taille égale le degré de D. Les facteurs quadratiques doivent rester irréductibles ; si le discriminant est positif vous devez les scinder en linéaires réels avant d'appeler cet outil, car la forme réelle des fractions partielles ne conserve pas un quadratique réductible intact.

Les multiplicités sont prises en charge jusqu'à une borne sûre de classe, de sorte que des facteurs répétés comme parenthèse x moins un au carré apparaissent comme A sur x moins un plus B sur parenthèse x moins un au carré.

Ce que vous envoyez et ce que vous recevez

Envoyez factors comme tableau non vide d'objets. Un facteur linéaire utilise kind linear avec coefficients a et b pour a x plus b et un power entier optionnel entre un et huit par défaut un. Un facteur quadratique utilise kind quadratic avec a, b et c pour a x au carré plus b x plus c, le même power optionnel, et doit satisfaire b au carré moins quatre a c inférieur ou égal à zéro pour que le quadratique soit irréductible sur les réels.

Les contrôles classiques incluent un sur parenthèse x moins un fois parenthèse x moins deux égal à moins un sur x moins un plus un sur x moins deux, et des numérateurs avec facteur linéaire répété ou un bloc irréductible x au carré plus un. Utilisez le formulaire gratuit du navigateur pour devoirs et contrôles rapides, puis le contrat identique depuis des scripts lorsque vous avez besoin de génération massive de barèmes.

Où la décomposition en fractions partielles apparaît dans le travail réel

Les cours de calcul du secondaire et de l'université assignent des exercices de fractions partielles avant chaque unité d'intégration rationnelle, et les enseignants ont besoin d'un oracle fiable qui renvoie chaque A, B et C avec un ordre stable pour les correcteurs automatiques et les barèmes de fiches. Les outils didactiques d'algèbre formelle et les générateurs de problèmes de concours fabriquent des intégrandes rationnelles à partir de listes aléatoires de facteurs et doivent rejeter les entrées impropres au lieu d'abandonner silencieusement un quotient polynomial.

Les carnets d'ingénierie qui nettoient des fonctions de transfert multi-facteurs avant Bode ou résidus bénéficient de la même liste structurée de termes que la classe utilise. Si vous avez ensuite besoin de division polynomiale longue pour fractions impropres, factorisation symbolique complète d'un dénominateur développé non factorisé, fractions partielles à facteurs complexes ou antiderivées automatiques de chaque terme, traitez-les comme intentions de recherche et pages d'atterrissage séparées plutôt que de surcharger cette page de fractions partielles réelles propres.

Cas d’usage

Devoirs de calcul et barèmes

Générez chaque terme partiel de rationnelles propres du manuel avec facteurs linéaires et quadratiques pour que enseignants et correcteurs automatiques partagent une vérité de référence avant les exercices d'intégration.

Inverse de Laplace et résidus

Décomposez des images rationnelles de Laplace en pôles simples et répétés plus blocs quadratiques irréductibles pour transformées inverses et tables de résidus.

Nettoyage de fonctions de transfert

Réécrivez des fonctions de transfert rationnelles multi-facteurs comme somme de pièces élémentaires pour analyse manuelle, croquis de Bode ou export vers carnets symboliques.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle propre ici ?

Celle dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur développé.

Quels types de facteurs sont pris en charge ?

Facteurs linéaires (a*x + b)^power et quadratiques irréductibles (a*x² + b*x + c)^power avec discriminant ≤ 0. Les quadratiques réductibles doivent être scindés en linéaires réels avant d'appeler l'outil.

Comment les coefficients du numérateur sont-ils ordonnés ?

Degré croissant : [c0, c1, c2] signifie c0 + c1*x + c2*x². Cela correspond à de nombreuses bibliothèques numériques et garde simple l'indexation du système linéaire.

Gère-t-il les facteurs répétés ?

Oui. Fixez power (ou multiplicity) sur un facteur. Un linéaire de puissance m produit m numérateurs constants A1…Am ; un quadratique de puissance m produit m numérateurs linéaires (Bk x + Ck).

Quel est le coût ?

L'outil navigateur est gratuit et s'exécute en local.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions

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Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"numerator":[1],"factors":[{"kind":"linear","a":1,"b":-1,"power":1},{"kind":"linear","a":1,"b":-2,"power":1}]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "numerator": [
      1
    ],
    "factors": [
      {
        "kind": "linear",
        "a": 1,
        "b": -1,
        "power": 1
      },
      {
        "kind": "linear",
        "a": 1,
        "b": -2,
        "power": 1
      }
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "numerator": [
        1
    ],
    "factors": [
        {
            "kind": "linear",
            "a": 1,
            "b": -1,
            "power": 1
        },
        {
            "kind": "linear",
            "a": 1,
            "b": -2,
            "power": 1
        }
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"numerator":[1],"factors":[{"kind":"linear","a":1,"b":-1,"power":1},{"kind":"linear","a":1,"b":-2,"power":1}]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"numerator":[1],"factors":[{"kind":"linear","a":1,"b":-1,"power":1},{"kind":"linear","a":1,"b":-2,"power":1}]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "numerator": [
    1
  ],
  "factors": [
    {
      "kind": "linear",
      "a": 1,
      "b": -1,
      "power": 1
    },
    {
      "kind": "linear",
      "a": 1,
      "b": -2,
      "power": 1
    }
  ]
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.partial_fractions",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Comment fonctionnent les fractions partielles avec facteurs linéaires et quadratiques

L'élimination de Gauss avec pivot partiel résout ce système en arithmétique flottante déterministe : pas de graines aléatoires, pas d'horloge, pas de réseau, pas de dérive de modèle, de sorte que des entrées identiques produisent toujours un JSON identique.

Ce que vous envoyez et ce que vous recevez

Envoyez numerator comme tableau JSON non vide de nombres finis en ordre de degré croissant de sorte que c zéro, c un, c deux signifie c zéro plus c un fois x plus c deux fois x au carré et ainsi de suite. Champs manquants, chaînes non numériques, NaN, Infinity, tableaux vides, a principal zéro sur un facteur, quadratiques réductibles et rationnelles impropres échouent avec invalid_input et ne sont pas facturés. En succès la réponse renvoie le numérateur nettoyé et les coefficients du dénominateur développé, les deux degrés, un drapeau proper à true, un résumé de factors avec chaînes d'affichage, un tableau terms où chaque terme linéaire porte coefficient et chaque quadratique porte num_linear et num_const, une somme de décomposition lisible et method égal à undetermined_coefficients. Le prix des appels API réussis est la base publiée $0.002 par article ; les échecs de validation ne consomment pas le solde prépayé.

Où la décomposition en fractions partielles apparaît dans le travail réel

Les cours d'équations différentielles et de commande inversent les transformées de Laplace en décomposant des images rationnelles en pôles simples et dénominateurs quadratiques ; une API déterministe aligne bots de devoirs et démos de carnets. Comme cette capacité est un moteur de parse pur, le prix de l'API est la base publiée $0.002 par article réussi et l'échec de validation ne consomme pas le solde.

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Ce que vous envoyez et ce que vous recevez

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Exemple de réponse

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