Frações parciais

A decomposição em frações parciais reescreve uma função racional própria N de x sobre D de x como soma de peças racionais mais simples cujos denominadores são potências dos fatores lineares reais e quadráticos irredutíveis de D. Essa soma é a montagem padrão para integrar racionais à mão, para transformadas inversas de Laplace em engenharia e para limpar denominadores aninhados em pipelines de álgebra simbólica. Esta capacidade toma o numerador como array de coeficientes em grau ascendente e o denominador como lista explícita de fatores —cada fator linear a x mais b elevado a uma potência, ou quadrático irredutível a x ao quadrado mais b x mais c elevado a uma potência— e devolve cada coeficiente indeterminado, uma lista estruturada de termos e uma string imprimível da decomposição. Só se aceitam racionais próprias: se o grau do numerador não for estritamente menor que o do denominador, a requisição falha com erro de validação claro para que você divida polinômios primeiro.

Como funcionam as frações parciais com fatores lineares e quadráticos

Parta de una racional propia N de x sobre D de x, es decir el grado de N es estritamente menor que el de D tras expandir el denominador desde sus factores. Sobre los reales todo polinômio no constante fatora en pedaços lineales a x más b y pedaços quadráticos irredutíveis a x al quadrado más b x más c con discriminante não positivo.

O ansatz clássico escreve um numerador constante A sub k para cada potência de um fator linear e um numerador linear B sub k vezes x mais C sub k para cada potência de um fator quadrático, coletando cada potência de um até a multiplicidade completa daquele fator. Multiplique ambos lados por D para limpiar denominadores; el lado izquierdo es N y el derecho se convierte en combinación lineal de polinômios conocidos cuyos coeficientes son exactamente los A, B y C desconocidos.

Igualar coeficientes de potencias iguales de x produce un sistema lineal quadrado cuyo tamaño iguala el grado de D. Fatores quadráticos devem permanecer irredutíveis; se o discriminante for positivo você deve dividi-los em lineares reais antes de chamar esta ferramenta, porque a forma real de frações parciais não mantém um quadrático redutível intacto. Se admiten multiplicidades hasta un límite seguro de aula, de modo que factores repetidos como paréntesis x menos uno al quadrado aparecen como A sobre x menos uno más B sobre paréntesis x menos uno al quadrado.

O que você envia e o que recebe de volta

Envie factors como array não vazio de objetos. Um fator linear usa kind linear junto com coeficientes a e b para a x mais b e um power inteiro opcional entre um e oito com padrão um. Um fator quadrático usa kind quadratic junto com a, b e c para a x ao quadrado mais b x mais c, o mesmo power opcional, e deve satisfazer b ao quadrado menos quatro a c menor ou igual a zero para o quadrático ser irredutível sobre os reais.

Checagens clássicas incluem um sobre parêntese x menos um vezes parêntese x menos dois igual a menos um sobre x menos um mais um sobre x menos dois, e numeradores com fator linear repetido ou bloco irredutível x ao quadrado mais um. Use o formulário gratuito do navegador para lição e checagens rápidas, depois o contrato idêntico a partir de scripts quando precisar de geração em massa de gabaritos.

Onde a decomposição em frações parciais aparece no trabalho real

Cursos de cálculo do ensino médio e superior atribuem treinos de frações parciais antes de cada unidade de integração racional, e instrutores precisam de um oráculo confiável que devolva cada A, B e C com ordenação estável para corretores automáticos e gabaritos de fichas. Ferramentas didáticas de álgebra computacional e geradores de problemas de concurso fabricam integrandos racionais a partir de listas aleatórias de fatores e devem rejeitar entradas impróprias em vez de descartar em silêncio um quociente polinomial.

Cadernos de engenharia que limpam funções de transferência multifatoriais antes de Bode ou resíduos se beneficiam da mesma lista estruturada de termos que a sala usa. Se mais tarde você precisar de divisão polinomial longa para frações impróprias, fatoração simbólica completa de um denominador expandido não fatorado, frações parciais com fatores complexos ou antiderivadas automáticas de cada termo, trate-os como intenções de busca e landings separados em vez de sobrecarregar esta página de frações parciais reais próprias.