ForHosting KIT · الرياضيات

الكسور الجزئية

قسّم الدالة الكسرية إلى أجزاء بسيطة جاهزة للتكامل: الكسر 1 على (x − 1)(x − 2) يصبح −1/(x − 1) + 1/(x − 2). ويدعم أيضًا العوامل المكررة والتربيعية غير القابلة للتحليل. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

يعيد تحليل الكسور الجزئية كتابة دالة كسرية حقيقية N من x على D من x كمجموع قطع كسرية أبسط مقاماتها قوى العوامل الخطية الحقيقية والتربيعية غير القابلة للاختزال لـ D. ذلك المجموع هو الإعداد القياسي لتكامل الكسريات يدويًا، ولتحويلات لابلاس العكسية في الهندسة، ولتنظيف المقامات المتداخلة في أنابيب الجبر الرمزي. تأخذ هذه القدرة البسط كمصفوفة معاملات بدرجات تصاعدية والمقام كقائمة عوامل صريحة —كل عامل خطي a x زائد b مرفوعًا إلى قوة، أو تربيعي غير قابل للاختزال a x تربيع زائد b x زائد c مرفوعًا إلى قوة— وتعيد كل معامل غير محدد وقائمة حدود منظمة وسلسلة تحليل قابلة للطباعة. تُقبل فقط الكسريات الحقيقية: إن لم تكن درجة البسط أقل بصرامة من درجة المقام تفشل الطلب بخطأ تحقق واضح لتُقسّموا الحدوديات أولًا.

كيف تعمل الكسور الجزئية مع العوامل الخطية والتربيعية

ابدأوا من كسرية حقيقية N من x على D من x، أي درجة N أقل بصرامة من درجة D بعد توسيع المقام من عوامله. على الحقيقيات يتحلل كل كثير حدود غير ثابت إلى قطع خطية a x زائد b وقطع تربيعية غير قابلة للاختزال a x تربيع زائد b x زائد c بمميز غير موجب.

يكتب ansatz الكلاسيكي بسطًا ثابتًا A فرعي k لكل قوة لعامل خطي وبسطًا خطيًا B فرعي k في x زائد C فرعي k لكل قوة لعامل تربيعي، جامعًا كل قوة من واحد حتى التعدد الكامل لذلك العامل. اضربوا الطرفين في D لمسح المقامات؛ الطرف الأيسر N والأيمن يصبح تركيبة خطية لحدوديات معروفة معاملاتها هي بالضبط A وB وC المجهولة.

يجب أن تبقى العوامل التربيعية غير قابلة للاختزال؛ إن كان المميز موجبًا فاقسموها إلى خطيات حقيقية قبل استدعاء هذه الأداة، لأن الشكل الحقيقي للكسور الجزئية لا يحافظ على تربيعي قابل للاختزال سليمًا. تُدعم التعدديات حتى حد آمن للصف، فتظهر العوامل المكررة مثل قوس x ناقص واحد تربيع كـ A على x ناقص واحد زائد B على قوس x ناقص واحد تربيع.

ما ترسلونه وما تستلمونه

أرسلوا factors كمصفوفة كائنات غير فارغة. يستخدم العامل الخطي kind linear مع a وb لـ a x زائد b وpower صحيح اختياري بين واحد وثمانية بافتراض واحد. يستخدم التربيعي kind quadratic مع a وb وc لـ a x تربيع زائد b x زائد c ونفس power الاختياري، ويجب أن يحقق b تربيع ناقص أربعة a c أقل من أو يساوي صفرًا ليكون غير قابل للاختزال على الحقيقيات.

تشمل الفحوصات الكلاسيكية واحدًا على قوس x ناقص واحد في قوس x ناقص اثنين يساوي ناقص واحد على x ناقص واحد زائد واحد على x ناقص اثنين، وبسوطًا بعامل خطي مكرر أو كتلة x تربيع زائد واحد غير قابلة للاختزال. استخدموا نموذج المتصفح المجاني للواجبات والفحوص السريعة ثم العقد ذاته من السكربتات عند الحاجة لتوليد مفاتيح بالجملة.

أين يظهر تحليل الكسور الجزئية في العمل الحقيقي

تُسند مقررات التفاضل والتكامل في الثانوية والجامعة تمارين كسور جزئية قبل كل وحدة تكامل كسري، ويحتاج المعلمون إلى أوراكل موثوق يعيد كل A وB وC بترتيب مستقر للمصححين الآليين ومفاتيح أوراق العمل. تصنع أدوات الجبر الحاسوبي التعليمية ومولدات مسائل المسابقات متكاملات كسرية من قوائم عوامل عشوائية ويجب أن ترفض المدخلات غير الحقيقية بدل إسقاط حاصل قسمة حدودي بصمت. تستفيد دفاتر الهندسة التي تنظف دوال نقل متعددة العوامل قبل Bode أو البواقي من نفس قائمة الحدود المنظمة التي يستخدمها الصف.

إن احتجتم لاحقًا إلى قسمة حدودية طويلة للكسور غير الحقيقية أو تحليل رمزي كامل لمقام موسّع غير محلل أو كسور جزئية بعوامل مركبة أو مشتقات عكسية تلقائية لكل حد، فعاملوها كنوايا بحث وصفحات هبوط منفصلة بدل إثقال صفحة الكسور الجزئية الحقيقية هذه.

حالات الاستخدام

واجبات التفاضل والتكامل ومفاتيح الإجابات

أنشئوا كل حد جزئي لكسريات الكتاب الحقيقية بعوامل خطية وتربيعية ليتشارك المعلمون والمصححون الآليون حقيقة مرجعية قبل تمارين التكامل.

عكس لابلاس والبواقي

حللوا صور لابلاس الكسرية إلى أقطاب بسيطة ومكررة وكتل تربيعية غير قابلة للاختزال للتحويلات العكسية وجداول البواقي.

تنظيف دوال النقل

أعيدوا كتابة دوال نقل كسرية متعددة العوامل كمجموع قطع أولية للتحليل اليدوي أو رسوم Bode أو التصدير إلى دفاتر رمزية.

الأسئلة الشائعة

ما الدالة الكسرية الحقيقية هنا؟

تلك التي درجة بسطها أقل بصرامة من درجة المقام الموسّع.

ما أنواع العوامل المدعومة؟

عوامل خطية (a*x + b)^power وتربيعية غير قابلة للاختزال (a*x² + b*x + c)^power بمميز ≤ 0. يجب تقسيم التربيعي القابل للاختزال إلى خطيات حقيقية قبل الاستدعاء.

كيف تُرتَّب معاملات البسط؟

درجة تصاعدية: [c0, c1, c2] تعني c0 + c1*x + c2*x². يطابق مكتبات عددية كثيرة ويبقي فهرسة النظام الخطي بسيطة.

هل يتعامل مع العوامل المكررة؟

نعم. عيّنوا power (أو multiplicity) على عامل. خطي بقوة m ينتج m بسوط ثابتة A1…Am؛ تربيعي بقوة m ينتج m بسوط خطية (Bk x + Ck).

ماذا أفعل إذا لم تكن درجة البسط أقل من درجة المقام؟

أجرِ قسمة كثيرات الحدود أولًا. لا يُقبل للتحليل إلا الكسر الحقيقي الذي تكون فيه درجة البسط أقل تمامًا من درجة المقام بعد فكه، وإلا تظهر رسالة واضحة.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"numerator":[1],"factors":[{"kind":"linear","a":1,"b":-1,"power":1},{"kind":"linear","a":1,"b":-2,"power":1}]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "numerator": [
      1
    ],
    "factors": [
      {
        "kind": "linear",
        "a": 1,
        "b": -1,
        "power": 1
      },
      {
        "kind": "linear",
        "a": 1,
        "b": -2,
        "power": 1
      }
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "numerator": [
        1
    ],
    "factors": [
        {
            "kind": "linear",
            "a": 1,
            "b": -1,
            "power": 1
        },
        {
            "kind": "linear",
            "a": 1,
            "b": -2,
            "power": 1
        }
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"numerator":[1],"factors":[{"kind":"linear","a":1,"b":-1,"power":1},{"kind":"linear","a":1,"b":-2,"power":1}]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"numerator":[1],"factors":[{"kind":"linear","a":1,"b":-1,"power":1},{"kind":"linear","a":1,"b":-2,"power":1}]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/partial-fractions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "numerator": [
    1
  ],
  "factors": [
    {
      "kind": "linear",
      "a": 1,
      "b": -1,
      "power": 1
    },
    {
      "kind": "linear",
      "a": 1,
      "b": -2,
      "power": 1
    }
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.partial_fractions",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

كيف تعمل الكسور الجزئية مع العوامل الخطية والتربيعية

يحلل غاوس مع محور جزئي ذلك النظام بحساب عائم حتمي: بلا بذور عشوائية ولا ساعة ولا شبكة ولا انجراف نموذج، فمدخلات متطابقة تنتج دائمًا JSON متطابقًا.

ما ترسلونه وما تستلمونه

أرسلوا numerator كمصفوفة JSON غير فارغة لأعداد منتهية بترتيب درجة تصاعدي بحيث c صفر وc واحد وc اثنان تعني c صفر زائد c واحد في x زائد c اثنان في x تربيع وهكذا. الحقول الناقصة والسلاسل غير العددية وNaN وInfinity والمصفوفات الفارغة وa رئيسي صفري على عامل والتربيعات القابلة للاختزال والكسريات غير الحقيقية تفشل بـ invalid_input ولا تُحسب. عند النجاح تعيد الاستجابة بسطًا منظفًا ومعاملات المقام الموسّع والدرجتين وعلم proper صحيحًا وملخص factors بسلاسل عرض ومصفوفة terms حيث يحمل كل حد خطي coefficient وكل تربيعي num_linear وnum_const ومجموع تحليل مقروء وmethod يساوي undetermined_coefficients. سعر استدعاءات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ فشل التحقق لا يستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا.

أين يظهر تحليل الكسور الجزئية في العمل الحقيقي

تعكس مقررات المعادلات التفاضلية والتحكم تحويلات لابلاس بتحليل صور كسرية إلى أقطاب بسيطة ومقامات تربيعية؛ تبقي API حتمية روبوتات الواجبات وعروض الدفاتر متوافقة. ولأن هذه القدرة محرك parse نقي، فإن سعر API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح وفشل التحقق لا يستهلك الرصيد.

أسئلة تقنية

ما التكلفة؟

أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

كيف تعمل الكسور الجزئية مع العوامل الخطية والتربيعية

ما ترسلونه وما تستلمونه

أين يظهر تحليل الكسور الجزئية في العمل الحقيقي

حالات الاستخدام

واجبات التفاضل والتكامل ومفاتيح الإجابات

عكس لابلاس والبواقي

تنظيف دوال النقل

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

كيف تعمل الكسور الجزئية مع العوامل الخطية والتربيعية

ما ترسلونه وما تستلمونه

أين يظهر تحليل الكسور الجزئية في العمل الحقيقي

أسئلة تقنية

شكرًا