Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung schreibt eine echte rationale Funktion N von x über D von x als Summe einfacherer rationaler Stücke um, deren Nenner Potenzen der reellen linearen und irreduziblen quadratischen Faktoren von D sind. Diese Summe ist der Standardansatz zum Integrieren rationaler Funktionen von Hand, für Laplace-Inverse in der Technik und zum Bereinigen verschachtelter Nenner in symbolischen Algebra-Pipelines. Diese Fähigkeit nimmt den Zähler als Koeffizienten-Array in aufsteigendem Grad und den Nenner als explizite Faktorenliste —jeder Faktor linear a x plus b hoch einer Potenz, oder irreduzibel quadratisch a x Quadrat plus b x plus c hoch einer Potenz— und liefert jeden unbestimmten Koeffizienten, eine strukturierte Termliste und eine druckbare Zerlegungszeichenkette. Nur echte Rationale werden akzeptiert: ist der Zählergrad nicht streng kleiner als der Nennergrad, scheitert die Anfrage mit einem klaren Validierungsfehler, damit Sie zuerst Polynome dividieren.

Wie Partialbrüche mit linearen und quadratischen Faktoren funktionieren

Beginnen Sie mit einer echten rationalen N von x über D von x, das heißt der Grad von N ist streng kleiner als der von D nach Expansion des Nenners aus seinen Faktoren. Über den Reellen zerlegt sich jedes nichtkonstante Polynom in lineare Stücke a x plus b und irreduzible quadratische Stücke a x Quadrat plus b x plus c mit nicht positivem Diskriminanten.

Der klassische Ansatz schreibt einen konstanten Zähler A sub k für jede Potenz eines linearen Faktors und einen linearen Zähler B sub k mal x plus C sub k für jede Potenz eines quadratischen Faktors und sammelt jede Potenz von eins bis zur vollen Vielfachheit dieses Faktors. Multiplizieren Sie beide Seiten mit D, um Nenner zu räumen; die linke Seite ist N und die rechte wird eine Linearkombination bekannter Polynome, deren Koeffizienten genau die unbekannten A, B und C sind.

Gleichsetzen der Koeffizienten gleicher x-Potenzen erzeugt ein quadratisches lineares System, dessen Größe dem Grad von D entspricht. Quadratische Faktoren müssen irreduzibel bleiben; ist der Diskriminant positiv, sollten Sie sie vor dem Aufruf in reelle Lineare spalten, weil die reelle Partialbruchform einen reduziblen Quadratischen nicht intakt behält. Vielfachheiten sind bis zu einer unterrichtssicheren Schranke unterstützt, sodass wiederholte Faktoren wie Klammer x minus eins Quadrat als A über x minus eins plus B über Klammer x minus eins Quadrat erscheinen.

Was Sie senden und was Sie zurückbekommen

Senden Sie factors als nicht leeres Objekt-Array. Ein linearer Faktor nutzt kind linear mit Koeffizienten a und b für a x plus b und optionaler ganzzahliger power zwischen eins und acht mit Vorgabe eins. Ein quadratischer Faktor nutzt kind quadratic mit a, b und c für a x Quadrat plus b x plus c, dieselbe optionale power, und muss b Quadrat minus vier a c kleiner oder gleich null erfüllen, damit der Quadratische über den Reellen irreduzibel ist.

Klassische Prüfungen umfassen eins über Klammer x minus eins mal Klammer x minus zwei gleich minus eins über x minus eins plus eins über x minus zwei, und Zähler mit wiederholtem linearen Faktor oder einem irreduziblen Block x Quadrat plus eins. Nutzen Sie das kostenlose Browser-Formular für Hausaufgaben und schnelle Prüfungen, dann denselben Vertrag aus Skripten, wenn Sie Massenschlüssel brauchen.

Wo Partialbruchzerlegung in realer Arbeit vorkommt

Schul- und Hochschul-Analysis-Kurse weisen Partialbruch-Übungen vor jeder rationalen Integrationseinheit zu, und Lehrkräfte brauchen ein vertrauenswürdiges Orakel, das jedes A, B und C mit stabiler Ordnung für Auto-Bewerter und Arbeitsblatt-Schlüssel liefert. Computeralgebra-Lehrwerkzeuge und Wettbewerbsproblem-Generatoren erzeugen rationale Integranden aus zufälligen Faktorenlisten und müssen unechte Eingaben ablehnen statt still einen Polynomquotient fallen zu lassen. Technik-Notebooks, die Multi-Faktor-Übertragungsfunktionen vor Bode oder Residuen bereinigen, profitieren von derselben strukturierten Termliste wie der Unterricht.

Brauchen Sie später Polynom-Langdivision für unechte Brüche, volle symbolische Faktorisierung eines unfaktorisierten expandierten Nenners, Partialbrüche mit komplexen Faktoren oder automatische Stammfunktionen jedes Terms, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten und Landings statt diese Seite echter reeller Partialbrüche zu überladen.