Lineare-Regression-Rechner
Sehen Sie, wie gut eine Gerade Ihre Daten erklärt: x von 1 bis 5 mit y von 2, 4, 5, 4 und 5 ergibt Steigung 0,6, Achsenabschnitt 2,2 und ein R-Quadrat von 0,6, mit allen Residuen. Geben Sie zwei Listen oder Punktpaare ein. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- X
- 1, 2, 3, 4, 5
- Y
- 2, 4, 5, 4, 5
- N
- 5
- Mittelwert x
- 3
- Mittelwert y
- 4
- Steigung
- 0,6
Die einfache lineare Regression findet die Gerade, die am besten erklärt, wie eine Antwort y mit einem Prädiktor x unter gewöhnlichen kleinsten Quadraten zusammenhängt. Das angepasste Modell schreibt sich y gleich m mal x plus b, wobei die Steigung m die erwartete Änderung von y bei einem Einheitsanstieg von x ist und der Achsenabschnitt b der angepasste Wert bei x gleich null. Die Anpassungsgüte wird durch R-Quadrat zusammengefasst, den Anteil der Varianz von y, den die Gerade erklärt, gleich eins minus residuale Quadratsumme über totale Quadratsumme. Studierende begegnen diesem Werkzeug in Algebra und Einführungsstatistik, wenn sie Streudiagramme zeichnen und von Hand eine Ausgleichsgerade ziehen; Analysten nutzen dieselbe geschlossene Form für Trendlinien, Kalibrierkurven und schnelle Prognosen, ohne ein vollständiges Statistikpaket zu starten.
Wie die lineare Regression mit gewöhnlichen kleinsten Quadraten funktioniert
Beginnen Sie mit mindestens zwei gepaarten Beobachtungen eines Prädiktors x und einer Antwort y. Gewöhnliche kleinste Quadrate wählen die eindeutige Gerade y gleich m x plus b, die die Summe der quadrierten vertikalen Residuen zwischen jedem beobachteten y und dem auf der Geraden vorhergesagten Wert minimiert.
Algebraisch ist dieses Minimum geschlossen: berechnen Sie die Stichprobenmittel von x und von y, bilden Sie die zentrierten Summen Sxx gleich der Summe der quadrierten Abweichungen von x vom eigenen Mittel und Sxy gleich der Summe der Produkte zentrierter x und y, setzen Sie dann die Steigung m gleich Sxy geteilt durch Sxx und den Achsenabschnitt b gleich Mittel y minus m mal Mittel x.
Vorhergesagte Werte sind m mal jedes x plus b; die residuale Quadratsumme ist die Summe der quadrierten Differenzen zwischen y und diesen Vorhersagen; die totale Quadratsumme ist die Summe der quadrierten Abweichungen von y vom eigenen Mittel; R-Quadrat ist eins minus residual über total. Wenn alle y-Werte identisch sind und die horizontale Gerade exakt passt, wird R-Quadrat als eins berichtet. Nicht endliche Zahlen, leere Reihen, ein einzelner Punkt und unpassende x- und y-Längen werden ebenfalls abgelehnt, bevor eine Anpassung versucht wird.
Was Sie senden und was Sie zurückerhalten
Senden Sie gepaarte Daten in einer von zwei Formen. Objekten mit numerischen x- und y-Feldern. Mischen Sie points nicht mit getrennten x und y in derselben Anfrage.
Mindestens zwei Paare sind erforderlich. Klassische Lehrbuchprüfungen umfassen x von eins bis fünf mit y gleich zwei, vier, fünf, vier, fünf, was Steigung 0.6, Achsenabschnitt 2.2 und R-Quadrat 0.6 liefert; und die perfekte Gerade durch null eins, eins drei, zwei fünf, die Steigung zwei, Achsenabschnitt eins und R-Quadrat eins liefert.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Prüfungsschlüssel
Erzeugen Sie Steigung, Achsenabschnitt, R-Quadrat und Residualtabellen für gepaarte Lehrbuchdaten, damit Lehrkräfte und Autograder eine gemeinsame Ground Truth teilen.
Labor-Kalibrierkurven
Passen Sie Instrumentenablesung gegen Konzentration mit gewöhnlichen kleinsten Quadraten an und exportieren Sie die Gleichung für spätere Vorhersageschritte.
Einfache Trendlinien in Operations und Produkt
Passen Sie einen geraden Trend an wöchentliche Volumen- oder Latenzreihen an und melden Sie m, b und R-Quadrat ohne vollen Analytics-Stack.
Häufige Fragen
Was passiert, wenn alle x-Werte gleich sind?
Nullvarianz in x macht Sxx null, daher ist die Kleinste-Quadrate-Steigung undefiniert. Fügen Sie Streuung in x hinzu oder nutzen Sie ein anderes Modell.
Wie viele Punkte brauche ich?
Mindestens zwei endliche Paare. Ein Punkt kann unter kleinsten Quadraten keine eindeutige Gerade bestimmen; zwei oder mehr sind erforderlich.
Was bedeutet R-Quadrat hier?
R-Quadrat ist der Anteil der Varianz von y, den die angepasste Gerade erklärt. Es ist eins bei perfekter Anpassung und nähert sich null, wenn die Gerade nichts über y erklärt.
Was sagen mir Steigung und Achsenabschnitt?
Die Steigung ist die erwartete Änderung von y, wenn x um eine Einheit steigt, im Beispiel 0,6. Der Achsenabschnitt ist der angepasste Wert von y, wenn x null ist, hier 2,2. Zusammen ergeben sie die Gerade für Ihre Prognosen.
Kann ich Punktpaare statt zweier Listen eingeben?
Ja. Sie können x und y als zwei gleich lange Listen oder als Liste von Punktpaaren eingeben, aber nicht beides in derselben Rechnung mischen. Nötig sind mindestens zwei Paare.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/linear-regression \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":"1, 2, 3, 4, 5","y":"2, 4, 5, 4, 5"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/linear-regression", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": "1, 2, 3, 4, 5",
"y": "2, 4, 5, 4, 5"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/linear-regression",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": "1, 2, 3, 4, 5",
"y": "2, 4, 5, 4, 5"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/linear-regression", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":"1, 2, 3, 4, 5","y":"2, 4, 5, 4, 5"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":"1, 2, 3, 4, 5","y":"2, 4, 5, 4, 5"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/linear-regression", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"x": "1, 2, 3, 4, 5",
"y": "2, 4, 5, 4, 5"
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.linear_regression",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dieser Rechner akzeptiert gepaarte Punkte als parallele x- und y-Listen oder als JSON-Array von Paaren, lehnt entartete Reihen ab, in denen jedes x identisch ist, weil die Steigung undefiniert wäre, und liefert bereinigte Reihen, Mittelwerte, Steigung, Achsenabschnitt, R-Quadrat, Korrelation, Residualdiagnostik und eine druckbare Gleichungstextzeile.
Wie die lineare Regression mit gewöhnlichen kleinsten Quadraten funktioniert
Die Methode ist deterministische Gleitkommaarithmetik ohne Zufallskeime, ohne Wanduhr-Zeitstempel und ohne Netzwerkanrufe, sodass identische Eingaben stets dasselbe JSON erzeugen. Ist Sxx null, weil jedes x identisch ist, verschwindet der Nenner und es existiert keine endliche Steigung, daher wird die Anfrage mit invalid_input abgelehnt statt Infinity oder NaN zurückzugeben.
Was Sie senden und was Sie zurückerhalten
Entweder liefern Sie sowohl x als auch y als JSON-Arrays endlicher Zahlen oder als durch Komma, Leerzeichen oder Semikolon getrennte Zeichenketten gleicher Länge, oder ein einzelnes points-Feld als JSON-Array von Zwei-Element-Paaren [x, y] bzw. Fehlende Felder, leere Listen, nichtnumerische Token, NaN, Infinity, Längenmismatch und konstantes x scheitern mit invalid_input und werden nicht berechnet. Bei Erfolg enthält die Antwort n, bereinigte x- und y-Arrays, mean_x und mean_y, slope, intercept, r_squared, Pearson-Korrelation, ss_res und ss_tot, sxx und sxy, vorhergesagte Werte, Residuen, eine druckbare Gleichungstextzeile der Form y gleich m mal x plus b, die Methodenbezeichnung ordinary_least_squares und eine kurze Formel-Erinnerung. Der Preis erfolgreicher API-Aufrufe ist die veröffentlichte Basis von $0.002 pro Element; Validierungsfehler verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben.
Wo lineare-Regressions-Rechner in der realen Arbeit vorkommen
Labor-Kalibrierung mappt Instrumentenablesung x auf Konzentration y und braucht OLS-Achsenabschnitt und -Steigung für spätere Vorhersage mit denselben Zahlen in jeder Laborgruppe. Business- und Operations-Teams ziehen einfache Trendlinien über wöchentliche Volumen-, Umsatz- oder Latenzreihen, ohne einen vollen Notebook-Stack zu öffnen, und exportieren die Gleichungstextzeile in Berichte. Wenn Sie später multiple Regression, polynomiale Anpassungen, logistische Modelle, reine Korrelationszusammenfassungen, Fünf-Zahlen-Zusammenfassungen oder z-Scores brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten und Landingpages statt diese Seite des linearen Regressionsrechners zu überladen. Statistikkurse an Schulen und Hochschulen vergeben ständig Streudiagramme, Übungen zur Ausgleichsgeraden und Interpretieren-der-Steigung-Aufgaben; ein einziges vertrauenswürdiges Orakel, das Steigung, Achsenabschnitt und R-Quadrat als sauberes JSON liefert, beschleunigt Benotung und Demo-Aufbau. Da diese Fähigkeit eine reine Parse-Engine ist, ist der API-Preis die veröffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Element und fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Technische Fragen
Welche Methode verwendet dieser lineare-Regressions-Rechner?
Gewöhnliche kleinste Quadrate (OLS): m = Sxy / Sxx und b = mean_y − m · mean_x, mit R² = 1 − SS_res / SS_tot. Keine iterativen Löser und keine Machine-Learning-Bibliotheken.
Was kostet es?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.