حل تربيعية بإكمال المربع
حل المعادلة التربيعية كما تتعلمها في الصف: تصبح x² − 6x + 5 = 0 على الصورة (x − 3)² = 4 فتكون الجذور 1 و5. وترى أيضًا ما أضيف إلى الطرفين والمربع الكامل. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 5
- المعادلة
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- المعادلة الأحادية
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- الحد الخطي الأحادي
- -6
- الثابت الأحادي
- 5
حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع هو أسلوب الصف الذي يعيد كتابة a في x تربيع زائد b في x زائد c يساوي صفرًا كمربع تام مُزاح يساوي ثابتًا، ثم يأخذ جذورًا تربيعية حقيقية. تقبل هذه الحاسبة المعاملات المنتهية الثلاثة a وb وc، وترفض معاملًا رئيسيًا صفرًا لأن العبارة لن تبقى تربيعية، وترفض طرفًا أيمن سالبًا بعد إكمال المربع لأن تلك الجذور ستكون مركبة لا حقيقية. عندما يكون المربع المُكمَل غير سالب، تعيد الأداة الجذور الحقيقية المرتبة مع الحد الخطي الموني، والمربع المضاف، وهوية المربع المُكمَل، وصيغة قصيرة يمكنكم طباعتها بجانب الإجابة. تشمل التحققات الكلاسيكية x تربيع ناقص ستة x زائد خمسة التي تصبح مربع x ناقص ثلاثة يساوي أربعة بالجذرين واحد وخمسة، واثنين x تربيع ناقص ثمانية x زائد ستة التي تصبح مربع x ناقص اثنين يساوي واحدًا بالجذرين واحد وثلاثة، وx تربيع زائد واحد التي تفشل زوجًا مركبًا.
كيف يُنتج إكمال المربع الجذور الحقيقية
يحل إكمال المربع a في x تربيع زائد b في x زائد c يساوي صفرًا بإجبار الطرف الأيسر على مربع مُزاح، لا بتلاوة الصيغة التربيعية من الذاكرة. أولًا يجب أن يكون المعامل الرئيسي غير صفر؛ إذا كان a صفرًا فالعبارة خطية ولا ينطبق هذا الأسلوب. اقسموا كل حد على a حتى تصبح المعادلة مونية: x تربيع زائد b على a في x زائد c على a يساوي صفرًا.
انقلوا الثابت إلى الطرف الأيمن، تاركين x تربيع زائد b على a في x على اليسار. نصف ذلك المعامل الخطي الموني هو b على اثنين a؛ أضيفوا مربع ذلك النصف إلى الطرفين. يصبح الطرف الأيسر حينئذٍ المربع التام لـ x زائد b على اثنين a، ويتبسط الطرف الأيمن جبريًا إلى b تربيع ناقص أربعة a c، كله على أربعة a تربيع.
يجب أن يكون ذلك الطرف الأيمن غير سالب لوجود جذور حقيقية. عندما يكون موجبًا تمامًا يظهر جذران حقيقيان: سالب b على اثنين a زائد أو ناقص الجذر التربيعي للطرف الأيمن. عندما يكون صفرًا تمامًا ينهار المربع إلى جذر حقيقي مكرر عند رأس القطع المكافئ.
الهويات المستعملة جبرية خالصة، فالأعداد الثلاثة نفسها تنتج دائمًا سلسلة المربع المُكمَل نفسها والجذور المرتبة نفسها، بلا بذور عشوائية ولا ساعات ولا استدعاءات شبكة على المسار.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الخطأ
عندما يكون a صفرًا يرفض المعالج الطلب لأن إكمال المربع أسلوب للتربيعات الحقيقية لا للعبارات الخطية أو الثابتة. عندما يكون الطرف الأيمن بعد إكمال المربع سالبًا يرفض المعالج برسالة واضحة بأن الجذور مركبة — وذلك الإخفاق لا يُحصَّل كذلك. مثال: a يساوي واحدًا وb يساوي سالب ستة وc يساوي خمسة يعطيان الجذرين واحدًا وخمسة.
اقرنوا الاستجابة برمز الرسم الخاص بكم إن احتجتم إلى مخطط للقطع المكافئ؛ هذه النهاية تحل من أجل x الحقيقي فقط.
أين تفيد حاسبة الحل بإكمال المربع
تُدرِّس مقررات الجبر في الثانوية والجامعة إكمال المربع قبل الصيغة التربيعية أو إلى جانبها، وتقيّم الأسلوب لا الأرقام النهائية وحدها. مرجع موثوق يعيد الشكل الموني والمربع المضاف وهوية المربع المُكمَل والجذور الحقيقية المرتبة يسرّع تصحيح الواجبات وعروض التدريس وتوليد مفاتيح الإجابات دون تخطي الخطوات التي تطلبها شبكة التقييم. تحتاج مولّدات الامتحانات أداة حتمية ترفض الأزواج المركبة والمعامل الرئيسي الصفري، حتى يعلّم المقوّمون الآليون تلك البنود بأنها بلا حل حقيقي أو غير تربيعية بدل إصدار قوائم فارغة في صمت.
يريد مؤلفو المناهج الذين يبنون دروسًا تفاعلية الشكل ذاته للمعاملات الرئيسية المونية وغير المونية، وجذرًا مكررًا عندما يكون الطرف الأيمن صفرًا، وخطأ صادقًا عند إدخال x تربيع زائد واحد. كثيرًا ما تخفي دفاتر البرمجة وشاشات المقابلات إعادة كتابة بإكمال المربع داخل مسألة رأس أو تحسين، ويحتاج المهندسون الجذور الحقيقية من تلك إعادة الكتابة لا تفريغ صيغة يخفي الإزاحة. إن احتجتم لاحقًا إلى إعادة كتابة بصيغة الرأس دون حل، أو جذور مركبة بلا قيد، أو تحليل صحيح، فعاملوها كنوايا بحث وصفحات هبوط منفصلة بدل تحميل حالّ إكمال المربع هذا.
حالات الاستخدام
تمارين صفية لإكمال المربع
اعرضوا المعادلة المونية والمربع المضاف (b/(2a))² و(x + b/(2a))² = rhs حتى يتحقق المتعلمون من كل خطوة جبرية لا من زوج الجذور النهائي وحده.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كانت الجذور مركبة؟
بعد إكمال المربع سيكون الطرف الأيمن سالبًا، فلا جذور حقيقية ولا تُحصَّل المكالمة.
بماذا يختلف هذا عن الصيغة التربيعية أو إعادة الكتابة بصيغة الرأس؟
تحل هذه الصفحة جذورًا حقيقية بإكمال المربع وتعرض هوية المربع المُكمَل. حاسبة صيغة الرأس تعيد كتابة a(x−h)²+k دون حل؛ والصيغة التربيعية أسلوب آخر وقد تعيد أزواجًا مركبة.
كيف أحل x² − 6x + 5 = 0 بإكمال المربع؟
انقل 5 إلى الطرف الأيمن، ثم أضف 9، وهو مربع نصف −6، إلى الطرفين. تحصل على (x − 3)² = 4، أي أن x − 3 يساوي موجب أو سالب 2، فتكون الجذور 1 و5.
ماذا أفعل إذا لم يكن معامل x² يساوي 1؟
اقسم كل الحدود أولًا على هذا المعامل حتى تبدأ المعادلة بالحد x² وحده. فالمعادلة 2x² − 8x + 6 = 0 تصبح x² − 4x + 3 = 0، ثم (x − 2)² = 1، وجذراها 1 و3.
ماذا يحدث عندما يتساوى الجذران؟
إذا كان الطرف الأيمن يساوي صفرًا تمامًا بعد إكمال المربع، يبقى جذر حقيقي واحد مكرر. يقع هذا الجذر عند رأس القطع المكافئ، حيث يلامس المنحنى محور x.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.solving_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تشترك ودجة المتصفح المجانية وواجهة API في دالة حتمية واحدة، فلا تختلف عروض الواجبات وخطوط الأتمتة على المعاملات نفسها.
كيف يُنتج إكمال المربع الجذور الحقيقية
عندما يكون سالبًا فالجذر التربيعي ليس حقيقيًا وتُبلغ هذه الحاسبة invalid_input بدل اختراع زوج مرافق مركب.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الخطأ
أرسلوا جسم JSON بثلاثة أعداد منتهية إلزامية: a المعامل الرئيسي غير الصفري؛ وb المعامل الخطي؛ وc الحد الثابت في a x تربيع زائد b x زائد c يساوي صفرًا. قد يصل كل حقل كعدد JSON أو كسلسلة عشرية رقمية؛ الحقول الناقصة والسلاسل الفارغة والقيم المنطقية والكائنات والقيم غير المنتهية تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل ولا تُحصَّل. عند النجاح يعيد الجسم a وb وc؛ سلسلتي equation وmonic_equation القابلتين للطباعة؛ method completing_the_square؛ المعاملين الخطي والثابت المونيين بعد القسمة على a؛ half_linear المساوي لـ b على اثنين a؛ complete_add المربع الذي أُضيف؛ rhs الطرف الأيمن غير السالب؛ هوية completed_square مثل قوس x ناقص ثلاثة قوس تربيع يساوي أربعة؛ المميز؛ root_count؛ roots مرتبة تصاعديًا ومقرَّبة إلى اثنتي عشرة مرتبة عشرية لـ goldens مستقرة؛ وصيغة قصيرة تعيد بيان الأسلوب. تستخدم استدعاءات API الناجحة الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر.
أين تفيد حاسبة الحل بإكمال المربع
ولأن هذه القدرة محرك parse نقي، فأداة المتصفح مجانية وتسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح؛ ولا يستهلك فشل التحقق الرصيد المسبق الدفع.
حالات التكامل
مفاتيح إجابات الواجبات والامتحانات
قابلوا مجموعات الكتاب ax²+bx+c=0 بهوية المربع المُكمَل والجذور الحقيقية المرتبة، أو التقطوا البنود غير التربيعية أو التي لا حل حقيقي لها.
تصحيح آلي LMS للأسلوب والنطاق
اقبلوا إجابات إكمال المربع فقط عند وجود جذور حقيقية؛ ارفضوا a = 0 والحالات المركبة كـ invalid_input بدل اختراع زوج مرافق.
أسئلة تقنية
كيف نحل معادلة تربيعية بإكمال المربع بهذه الحاسبة؟
أرسلوا أعدادًا منتهية a (غير صفر) وb وc لـ ax²+bx+c=0. تقسم API على a وتضيف (b/(2a))² وتعيد الجذور الحقيقية من x = −b/(2a) ± √(rhs) عندما يكون rhs غير سالب.
لماذا يجب أن يكون a غير صفر؟
إذا كان a صفرًا فليست ax²+bx+c=0 تربيعية. إكمال المربع أداة خاطئة؛ يرفض الحالّ a = 0 حتى لا يتظاهر بأن معادلة خطية تربيعية.
كم تكلفة حاسبة الحل بإكمال المربع؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بمقدار $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ ولا تُحصَّل المدخلات غير الصالحة.