Calculadora pentagonal
O 5º número pentagonal é 35, pela fórmula n(3n − 1)/2. Informe uma posição para obter o número pentagonal, ou digite qualquer inteiro para saber se ele pertence à sequência e em que lugar. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 5
- Potência (W)
- 35
Os números pentagonais são a sequência figurada que conta pontos dispostos em pentágonos regulares aninhados. A fórmula fechada é simples e exata: o n-ésimo número pentagonal é n vezes três-n-menos-um, tudo sobre dois. Essa identidade produz a lista familiar 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, e assim por diante para índices não negativos. Esta calculadora avalia P(n) para um índice escolhido e testa se um inteiro não negativo arbitrário pertence à sequência, usando a condição clássica do discriminante em vez de uma busca lenta. Índices negativos são rejeitados com um erro de validação claro para que os chamadores não confundam esta ferramenta com os números pentagonais generalizados da teoria das partições.
O que são números pentagonais e como P(n) é definido
Um número pentagonal conta os pontos que você desenharia ao construir pentágonos regulares sucessivos que compartilham um vértice e crescem um anel de cada vez. A história geométrica é a mesma família dos números triangulares e quadrados: cada sequência figurada tem um polinômio simples que transforma o índice do anel em contagem de pontos. Para pentágonos o polinômio é P(n)=n(3n−1)/2.
Substituindo inteiros não negativos pequenos recupera-se a tabela padrão: P(0)=0, P(1)=1, P(2)=5, P(3)=12, P(4)=22, P(5)=35, P(6)=51, P(7)=70, P(8)=92, P(9)=117, P(10)=145. A fórmula sempre produz um inteiro para n inteiro porque n ou 3n−1 é par, de modo que a divisão por dois é exata em aritmética inteira.
Competições, problemas no estilo Project Euler e cursos de matemática discreta usam esses valores o tempo todo: por exemplo, a busca clássica por números que são ao mesmo tempo triangulares e pentagonais depende de avaliar a fórmula repetidamente e de testar a pertinência sem montar listas enormes. Entender que P(n) é uma quadrática, não uma recorrência que você deve iterar, é o primeiro passo para usar a sequência com confiança em código e no papel.
Como esta calculadora computa P(n) e testa a pertinência
Envie pelo menos um de dois campos. O campo inteiro value faz outra pergunta: este número está em algum lugar da sequência pentagonal? A pertinência não percorre de um para cima.
Em vez disso usa a inversa da quadrática: value é pentagonal se e somente se um mais a raiz quadrada de um mais vinte e quatro vezes value, tudo dividido por seis, for um inteiro não negativo. A implementação verifica esse discriminante com raiz quadrada inteira para que o arredondamento em ponto flutuante nunca aceite ou rejeite um candidato por engano. Quando o teste tem sucesso, a resposta também devolve o índice k tal que P(k) iguala value.
Você pode fornecer ambos os campos em uma requisição; cada caminho é independente.
Casos de uso
Verificação de lição de casa e competições
Alunos e avaliadores confirmam P(n) para um índice dado e testam se um inteiro listado é de fato pentagonal sem um sistema de álgebra computacional local.
Project Euler e filtros de busca
Scripts que caçam números que são triangulares, quadrados e pentagonais podem chamar um oráculo de pertinência determinístico em vez de reconstruir sequências em cada linguagem.
Ensinar fórmulas de números figurados
Páginas de aula que apresentam P(n)=n(3n−1)/2 podem mostrar a forma fechada ao lado do discriminante inverso para que os alunos liguem geometria e álgebra.
Perguntas frequentes
Como testo se um número é pentagonal?
Envie o campo value com o inteiro candidato.
O que acontece se n for negativo?
Só índices não negativos são aceitos; n negativo é rejeitado e não cobrado.
A calculadora de números pentagonais é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Por que a pertinência não é uma busca linear?
A inversa de P(n) é um teste quadrático exato: (1+sqrt(1+24x))/6 deve ser um inteiro não negativo. Esta calculadora verifica isso com aritmética inteira em tempo constante.
Por que n(3n − 1)/2 sempre dá um número inteiro?
Porque n ou 3n − 1 é sempre par, então o produto se divide exatamente por 2. A divisão nunca deixa resto, qualquer que seja a posição escolhida.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pentagonal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 10000000 |
max_value | 150000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como esta calculadora computa P(n) e testa a pertinência
O campo inteiro n pede o n-ésimo número pentagonal sob a forma fechada acima; o motor valida que n esteja presente como inteiro finito, não negativo e dentro do limite superior publicado, então devolve p igual a n vezes três-n-menos-um sobre dois junto com a string de fórmula para documentação. n negativo falha de imediato com invalid_input e não é cobrado. Faltar ambos os campos, não inteiros e valores acima dos limites publicados falham com invalid_input.
Uso prático, limites, preços e entrega
Use a ferramenta do navegador quando quiser um P(n) imediato ou uma checagem de pertinência sim-ou-não ao estudar números figurados, verificar uma resposta de competição ou explicar o teste do discriminante sem instalar um sistema de álgebra computacional. Índices aceitos vão de zero a dez milhões e candidatos de pertinência até cento e cinquenta trilhões, de modo que demos de ensino grandes e filtros na escala Project Euler continuam viáveis sem crescimento de memória ilimitado. Não há modelo de linguagem, nem serviço aritmético externo nem aleatoriedade, por isso a capacidade é segura para fixar em checagens de integração contínua e materiais de aula reproduzíveis. Use a API quando um script, corretor de tarefas, plataforma de preparação para entrevistas ou site educacional precisar de JSON estável para muitos índices e candidatos sob um único contrato. Cada requisição bem-sucedida é um item faturável a US$ 0,002; validação falha não consome saldo. Os resultados são totalmente determinísticos: o mesmo n sempre produz o mesmo p, e o mesmo value sempre produz a mesma flag is_pentagonal e o mesmo índice. Conecte o endpoint a demos de teoria dos números, sandboxes de entrevistas de código, tutoriais de matemática discreta ou etapas de pré-processamento de inteiros onde você já prefira aritmética figurada exata a heurísticas aproximadas ou calculadoras opacas que não mostrem a fórmula ou a prova de pertinência.
Perguntas técnicas
Como calculo o n-ésimo número pentagonal com esta API?
Envie um corpo JSON com o campo inteiro não negativo n para math.pentagonal_number. A resposta devolve p = n*(3*n-1)/2 e a string de fórmula.