Calculadora pentagonal
El 5.º número pentagonal es 35, según n(3n − 1)/2. Indique una posición para obtener su número pentagonal, o escriba cualquier entero para saber si pertenece a la serie y en qué lugar. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 5
- Potencia (W)
- 35
Los números pentagonales son la sucesión figurada que cuenta puntos dispuestos en pentágonos regulares anidados. La fórmula cerrada es simple y exacta: el n-ésimo número pentagonal es n por tres-n-menos-uno, todo sobre dos. Esa identidad produce la lista familiar 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, y así sucesivamente para índices no negativos. Esta calculadora evalúa P(n) para un índice elegido y comprueba si un entero no negativo arbitrario pertenece a la sucesión, usando la condición clásica del discriminante en lugar de una búsqueda lenta. Los índices negativos se rechazan con un error de validación claro para que los llamadores no confundan esta herramienta con los números pentagonales generalizados de la teoría de particiones.
Qué son los números pentagonales y cómo se define P(n)
Un número pentagonal cuenta los puntos que dibujaría al construir pentágonos regulares sucesivos que comparten un vértice y crecen un anillo cada vez. La historia geométrica es la misma familia que los números triangulares y cuadrados: cada sucesión figurada tiene un polinomio simple que convierte el índice del anillo en un conteo de puntos. Para pentágonos el polinomio es P(n)=n(3n−1)/2.
Al sustituir enteros no negativos pequeños se recupera la tabla estándar: P(0)=0, P(1)=1, P(2)=5, P(3)=12, P(4)=22, P(5)=35, P(6)=51, P(7)=70, P(8)=92, P(9)=117, P(10)=145. La fórmula siempre produce un entero para n entero porque n o 3n−1 es par, de modo que la división entre dos es exacta en aritmética entera.
Concursos, problemas al estilo Project Euler y cursos de matemática discreta usan estos valores con constancia: por ejemplo, la búsqueda clásica de números a la vez triangulares y pentagonales depende de evaluar la fórmula repetidamente y de probar la pertenencia sin construir listas enormes. Entender que P(n) es una cuadrática, no una recurrencia que deba iterar, es el primer paso para usar la sucesión con confianza en código y en papel.
Cómo calcula esta herramienta P(n) y prueba la pertenencia
Envíe al menos uno de dos campos. El campo entero n pide el n-ésimo número pentagonal bajo la forma cerrada anterior; el motor valida que n esté presente como entero finito, no negativo y dentro del límite superior publicado, luego devuelve p igual a n por tres-n-menos-uno sobre dos junto con la cadena de fórmula para documentación. El campo entero value plantea otra pregunta: ¿está este número en algún lugar de la sucesión pentagonal?
La pertenencia no recorre desde uno hacia arriba. En su lugar usa la inversa de la cuadrática: value es pentagonal si y solo si uno más la raíz cuadrada de uno más veinticuatro veces value, todo dividido entre seis, es un entero no negativo. La implementación comprueba ese discriminante con una raíz cuadrada entera para que el redondeo en coma flotante nunca acepte o rechace un candidato por error.
Cuando la prueba tiene éxito, la respuesta también devuelve el índice k tal que P(k) iguala value. Puede suministrar ambos campos en una petición; cada ruta es independiente.
Qué puede hacer con ella
Verificación de tareas y concursos
Estudiantes y evaluadores confirman P(n) para un índice dado y comprueban si un entero listado es realmente pentagonal sin un sistema de álgebra computacional local.
Project Euler y filtros de búsqueda
Scripts que buscan números a la vez triangulares, cuadrados y pentagonales pueden invocar un oráculo de pertenencia determinista en lugar de reconstruir sucesiones en cada lenguaje.
Enseñar fórmulas de números figurados
Las páginas de lección que introducen P(n)=n(3n−1)/2 pueden mostrar la forma cerrada junto al discriminante inverso para que el alumnado conecte geometría y álgebra.
Preguntas frecuentes
¿Cómo compruebo si un número es pentagonal?
Envíe el campo value con el entero candidato.
¿Qué ocurre si n es negativo?
Solo se aceptan índices no negativos; n negativo se rechaza y no se cobra.
¿Es gratuita la calculadora de números pentagonales?
La herramienta del navegador se ejecuta gratis en su dispositivo.
¿Por qué la pertenencia no es una búsqueda lineal?
La inversa de P(n) es una prueba cuadrática exacta: (1+sqrt(1+24x))/6 debe ser un entero no negativo. Esta calculadora lo comprueba con aritmética entera en tiempo constante.
¿Por qué n(3n − 1)/2 siempre da un número entero?
Porque n o 3n − 1 es siempre par, así que el producto se divide exactamente entre 2. La división nunca deja resto, sea cual sea la posición que elija.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number", {
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
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]));
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 5
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pentagonal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_n | 10000000 |
max_value | 150000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo calcula esta herramienta P(n) y prueba la pertenencia
Un n negativo falla de inmediato con invalid_input y no se cobra. Faltar ambos campos, no enteros y valores por encima de los límites publicados fallan con invalid_input.
Uso práctico, límites, precios y entrega
Use la herramienta del navegador cuando desee un P(n) inmediato o una comprobación de pertenencia sí o no al estudiar números figurados, verificar una respuesta de concurso o explicar la prueba del discriminante sin instalar un sistema de álgebra computacional. Los índices aceptados van de cero a diez millones y los candidatos de pertenencia hasta ciento cincuenta billones (escala corta anglosajona: 1.5×10¹⁴), de modo que demos docentes grandes y filtros a escala Project Euler siguen siendo viables sin crecimiento de memoria ilimitado. No hay modelo de lenguaje, ni servicio aritmético externo ni aleatoriedad, por lo que la capacidad es segura para fijar en comprobaciones de integración continua y materiales de lección reproducibles. Use la API cuando un script, corrector de tareas, plataforma de preparación de entrevistas o sitio educativo necesite JSON estable para muchos índices y candidatos bajo un solo contrato. Cada petición exitosa es un ítem facturable a $0.002; la validación fallida no consume saldo. Los resultados son totalmente deterministas: el mismo n siempre produce el mismo p, y el mismo value siempre produce el mismo indicador is_pentagonal y el mismo índice. Conecte el endpoint a demos de teoría de números, sandboxes de entrevistas de código, tutoriales de matemática discreta o pasos de preprocesado de enteros donde ya prefiera aritmética figurada exacta frente a heurísticas aproximadas o calculadoras opacas que no puedan mostrar la fórmula o la prueba de pertenencia.
Preguntas técnicas
¿Cómo calculo el n-ésimo número pentagonal con esta API?
Envíe un cuerpo JSON con el campo entero no negativo n a math.pentagonal_number. La respuesta devuelve p = n*(3*n-1)/2 y la cadena de fórmula.