Numeri pentagonali
Il 5° numero pentagonale è 35, secondo n(3n − 1)/2. Indichi una posizione per ottenere il suo numero pentagonale, oppure inserisca un intero per sapere se appartiene alla successione e in quale posto. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 5
- Potenza (W)
- 35
I numeri pentagonali sono la successione figurata che conta i punti disposti in pentagoni regolari annidati. La formula chiusa è semplice ed esatta: l’n-esimo numero pentagonale vale n per tre-n-meno-uno, il tutto diviso due. Quell’identità produce l’elenco familiare 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, e così via per indici non negativi. Questa calcolatrice valuta P(n) per un indice scelto e verifica se un intero non negativo arbitrario appartiene alla successione, usando la condizione classica del discriminante anziché una ricerca lenta. Gli indici negativi vengono rifiutati con un errore di validazione chiaro affinché i chiamanti non confondano questo strumento con i numeri pentagonali generalizzati della teoria delle partizioni.
Cosa sono i numeri pentagonali e come si definisce P(n)
Un numero pentagonale conta i punti che disegnerebbe costruendo pentagoni regolari successivi che condividono un vertice e crescono di un anello alla volta. La storia geometrica è la stessa famiglia dei numeri triangolari e quadrati: ogni successione figurata ha un polinomio semplice che trasforma l’indice dell’anello in un conteggio di punti. Per i pentagoni il polinomio è P(n)=n(3n−1)/2.
Sostituendo piccoli interi non negativi si recupera la tabella standard: P(0)=0, P(1)=1, P(2)=5, P(3)=12, P(4)=22, P(5)=35, P(6)=51, P(7)=70, P(8)=92, P(9)=117, P(10)=145. La formula produce sempre un intero per n intero perché n oppure 3n−1 è pari, così la divisione per due è esatta in aritmetica intera. Gare, problemi in stile Project Euler e corsi di matematica discreta usano questi valori di continuo: ad esempio, la ricerca classica di numeri al tempo stesso triangolari e pentagonali dipende dal valutare ripetutamente la formula e dal verificare l’appartenenza senza costruire elenchi enormi.
Capire che P(n) è una quadratica, non una ricorrenza da iterare, è il primo passo per usare la successione con fiducia in codice e su carta.
Come questa calcolatrice calcola P(n) e verifica l’appartenenza
Invii almeno uno di due campi. Il campo intero n chiede l’n-esimo numero pentagonale sotto la forma chiusa sopra; il motore valida che n sia presente come intero finito, non negativo e entro il limite superiore pubblicato, poi restituisce p uguale a n per tre-n-meno-uno su due insieme alla stringa di formula per la documentazione. Il campo intero value pone un’altra domanda: questo numero è da qualche parte nella successione pentagonale?
L’appartenenza non scorre da uno in su. Usa invece l’inversa della quadratica: value è pentagonale se e solo se uno più la radice quadrata di uno più ventiquattro volte value, il tutto diviso per sei, è un intero non negativo. L’implementazione controlla quel discriminante con radice quadrata intera così l’arrotondamento in virgola mobile non accetta né rifiuta mai un candidato per errore.
Quando il test ha successo, la risposta restituisce anche l’indice k tale che P(k) uguaglia value. Può fornire entrambi i campi in una richiesta; ogni percorso è indipendente.
Casi d'uso
Verifica di compiti e gare
Studenti e valutatori confermano P(n) per un dato indice e verificano se un intero elencato è davvero pentagonale senza un sistema di algebra computazionale locale.
Project Euler e filtri di ricerca
Script che cercano numeri al tempo stesso triangolari, quadrati e pentagonali possono chiamare un oracolo di appartenenza deterministico invece di ricostruire successioni in ogni linguaggio.
Insegnare le formule dei numeri figurati
Le pagine di lezione che presentano P(n)=n(3n−1)/2 possono mostrare la forma chiusa accanto al discriminante inverso così i discenti collegano geometria e algebra.
Domande frequenti
Cosa succede se n è negativo?
Sono accettati solo indici non negativi; n negativo è rifiutato e non addebitato.
La calcolatrice di numeri pentagonali è gratuita?
Lo strumento del browser gira gratis sul Suo dispositivo.
Perché l’appartenenza non è una ricerca lineare?
L’inversa di P(n) è un test quadratico esatto: (1+sqrt(1+24x))/6 deve essere un intero non negativo. Questa calcolatrice lo verifica con aritmetica intera in tempo costante.
Come si verifica se un numero è pentagonale?
Lo inserisca come valore da verificare. È pentagonale quando 1 più la radice quadrata di 1 più 24 volte il valore, il tutto diviso per 6, dà un numero intero; per 35 il test arriva alla posizione 5.
Perché n(3n − 1)/2 dà sempre un numero intero?
Perché n oppure 3n − 1 è sempre pari, quindi il prodotto si divide esattamente per 2. La divisione non lascia mai resto, qualunque sia la posizione scelta.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
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}Esempio di risposta
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"type": "math.pentagonal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_n | 10000000 |
max_value | 150000000000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come questa calcolatrice calcola P(n) e verifica l’appartenenza
Un n negativo fallisce subito con invalid_input e non viene addebitato. L’assenza di entrambi i campi, i non interi e i valori oltre i limiti pubblicati falliscono con invalid_input.
Uso pratico, limiti, prezzi e consegna
Usi lo strumento del browser quando desidera un P(n) immediato o un controllo di appartenenza sì-o-no studiando i numeri figurati, verificando una risposta di gara o spiegando il test del discriminante senza installare un sistema di algebra computazionale. Gli indici accettati vanno da zero a dieci milioni e i candidati di appartenenza fino a centocinquanta trilioni, così grandi demo didattiche e filtri su scala Project Euler restano fattibili senza crescita di memoria illimitata. Non c’è modello di linguaggio, né servizio aritmetico esterno né casualità, quindi la capacità è sicura da fissare in controlli di integrazione continua e materiali di lezione riproducibili. Usi l’API quando uno script, un correttore di compiti, una piattaforma di preparazione ai colloqui o un sito educativo necessita di JSON stabile per molti indici e candidati sotto un unico contratto. Ogni richiesta riuscita è un elemento fatturabile a $0.002; la validazione fallita non consuma saldo. I risultati sono del tutto deterministici: lo stesso n produce sempre lo stesso p, e lo stesso value produce sempre lo stesso flag is_pentagonal e lo stesso indice. Colleghi l’endpoint a demo di teoria dei numeri, sandbox di colloqui di codice, tutorial di matematica discreta o passi di pre-elaborazione di interi dove preferisca già aritmetica figurata esatta a euristiche approssimate o calcolatrici opache che non mostrano la formula o la prova di appartenenza.
Domande tecniche
Come calcolo l’n-esimo numero pentagonale con questa API?
Invii un corpo JSON con il campo intero non negativo n a math.pentagonal_number. La risposta restituisce p = n*(3*n-1)/2 e la stringa di formula.
Come verifico se un numero è pentagonale?
Invii il campo value con l’intero candidato. La risposta imposta is_pentagonal e, se vero, index uguale al k tale che P(k)=value.