Nombres pentagonaux
Le 5e nombre pentagonal est 35, d'après n(3n − 1)/2. Indiquez un rang pour obtenir son nombre pentagonal, ou saisissez un entier pour savoir s'il appartient à la suite et à quelle place. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 5
- Puissance (W)
- 35
Les nombres pentagonaux sont la suite figurée qui compte les points disposés en pentagones réguliers emboîtés. La formule fermée est simple et exacte : le n-ième nombre pentagonal égale n fois trois-n-moins-un, le tout sur deux. Cette identité produit la liste familière 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, et ainsi de suite pour les indices non négatifs. Cette calculatrice évalue P(n) pour un indice choisi et teste si un entier non négatif arbitraire appartient à la suite, en utilisant la condition classique du discriminant plutôt qu’une recherche lente. Les indices négatifs sont rejetés avec une erreur de validation claire afin que les appelants ne confondent pas cet outil avec les nombres pentagonaux généralisés de la théorie des partitions.
Ce que sont les nombres pentagonaux et comment P(n) se définit
Un nombre pentagonal compte les points que vous dessinerez en construisant des pentagones réguliers successifs qui partagent un sommet et grandissent d’un anneau à la fois. L’histoire géométrique est la même famille que les nombres triangulaires et carrés : chaque suite figurée a un polynôme simple qui transforme l’indice de l’anneau en un décompte de points. Pour les pentagones le polynôme est P(n)=n(3n−1)/2.
En substituant de petits entiers non négatifs on retrouve la table standard : P(0)=0, P(1)=1, P(2)=5, P(3)=12, P(4)=22, P(5)=35, P(6)=51, P(7)=70, P(8)=92, P(9)=117, P(10)=145. La formule produit toujours un entier pour n entier car n ou 3n−1 est pair, de sorte que la division par deux est exacte en arithmétique entière.
Concours, problèmes de style Project Euler et cours de mathématiques discrètes utilisent ces valeurs en permanence : par exemple, la recherche classique de nombres à la fois triangulaires et pentagonaux dépend d’évaluer la formule de façon répétée et de tester l’appartenance sans construire d’énormes listes. Comprendre que P(n) est une quadratique, non une récurrence à itérer, est le premier pas pour utiliser la suite avec confiance en code et sur papier.
Comment cette calculatrice calcule P(n) et teste l’appartenance
Envoyez au moins l’un de deux champs. Le champ entier n demande le n-ième nombre pentagonal sous la forme fermée ci-dessus ; le moteur valide que n est présent comme entier fini, non négatif et dans la borne supérieure publiée, puis renvoie p égal à n fois trois-n-moins-un sur deux avec la chaîne de formule pour la documentation. Le champ entier value pose une autre question : ce nombre figure-t-il quelque part dans la suite pentagonale ?
L’appartenance ne parcourt pas depuis un vers le haut. Elle utilise au contraire l’inverse de la quadratique : value est pentagonal si et seulement si un plus la racine carrée de un plus vingt-quatre fois value, le tout divisé par six, est un entier non négatif. L’implémentation vérifie ce discriminant avec une racine carrée entière pour que l’arrondi en virgule flottante n’accepte ni ne rejette jamais un candidat à tort.
Lorsque le test réussit, la réponse renvoie aussi l’indice k tel que P(k) égale value. Vous pouvez fournir les deux champs en une requête ; chaque chemin est indépendant.
Cas d’usage
Vérification de devoirs et concours
Élèves et correcteurs confirment P(n) pour un indice donné et testent si un entier listé est vraiment pentagonal sans système de calcul formel local.
Project Euler et filtres de recherche
Des scripts qui cherchent des nombres à la fois triangulaires, carrés et pentagonaux peuvent appeler un oracle d’appartenance déterministe au lieu de reconstruire des suites dans chaque langage.
Enseigner les formules de nombres figurés
Les pages de leçon qui présentent P(n)=n(3n−1)/2 peuvent montrer la forme fermée à côté du discriminant inverse pour relier géométrie et algèbre.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si n est négatif ?
Seuls les indices non négatifs sont acceptés ; n négatif est rejeté et non facturé.
Pourquoi l’appartenance n’est-elle pas une recherche linéaire ?
L’inverse de P(n) est un test quadratique exact : (1+sqrt(1+24x))/6 doit être un entier non négatif. Cette calculatrice le vérifie en arithmétique entière en temps constant.
Comment savoir si un nombre est pentagonal ?
Saisissez-le comme valeur à tester. Il est pentagonal lorsque 1 plus la racine carrée de 1 plus 24 fois la valeur, le tout divisé par 6, donne un entier ; pour 35, le test aboutit au rang 5.
Pourquoi n(3n − 1)/2 donne-t-il toujours un entier ?
Parce que n ou 3n − 1 est toujours pair, si bien que le produit se divise exactement par 2. La division ne laisse jamais de reste, quel que soit le rang choisi.
Quels sont les premiers nombres pentagonaux ?
Pour les rangs 0 à 10, la suite donne 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 et 145. Chaque nombre compte les points de pentagones emboîtés qui grandissent d'un anneau à la fois.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
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-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pentagonal-number", {
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
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}Exemple de réponse
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"type": "math.pentagonal_number",
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}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_n | 10000000 |
max_value | 150000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Comment cette calculatrice calcule P(n) et teste l’appartenance
Un n négatif échoue immédiatement avec invalid_input et n’est pas facturé. L’absence des deux champs, les non-entiers et les valeurs au-dessus des limites publiées échouent avec invalid_input.
Usage pratique, limites, tarifs et livraison
Utilisez l’outil navigateur lorsque vous voulez un P(n) immédiat ou un contrôle d’appartenance oui-ou-non en étudiant les nombres figurés, en vérifiant une réponse de concours ou en expliquant le test du discriminant sans installer un système de calcul formel. Les indices acceptés vont de zéro à dix millions et les candidats d’appartenance jusqu’à cent cinquante billions (échelle courte : 1,5×10¹⁴), de sorte que de grandes démos pédagogiques et des filtres à l’échelle Project Euler restent réalisables sans croissance mémoire illimitée. Il n’y a ni modèle de langage, ni service arithmétique externe ni aléa, donc la capacité est sûre à épingler dans des contrôles d’intégration continue et des supports de leçon reproductibles. Utilisez l’API lorsqu’un script, un correcteur de devoirs, une plateforme de préparation aux entretiens ou un site éducatif a besoin de JSON stable pour de nombreux indices et candidats sous un seul contrat. Chaque requête réussie est un élément facturable à $0.002 ; l’échec de validation ne consomme pas le solde. Les résultats sont entièrement déterministes : le même n produit toujours le même p, et le même value produit toujours le même indicateur is_pentagonal et le même indice. Branchez le endpoint sur des démos de théorie des nombres, sandboxes d’entretiens de code, tutoriels de mathématiques discrètes ou étapes de prétraitement d’entiers où vous préférez déjà l’arithmétique figurée exacte aux heuristiques approximatives ou aux calculatrices opaques qui ne montrent ni la formule ni la preuve d’appartenance.
Questions techniques
Comment calculer le n-ième nombre pentagonal avec cette API ?
Envoyez un corps JSON avec le champ entier non négatif n vers math.pentagonal_number. La réponse renvoie p = n*(3*n-1)/2 et la chaîne de formule.
Comment tester si un nombre est pentagonal ?
Envoyez le champ value avec l’entier candidat. La réponse fixe is_pentagonal et, si vrai, index égal au k tel que P(k)=value.
La calculatrice de nombres pentagonaux est-elle gratuite ?
L’outil navigateur s’exécute gratuitement sur votre appareil. Les appels API utilisent le solde KIT prépayé à $0.002 par élément réussi ; les échecs de validation ne sont pas facturés.