Nombres polygonaux
Choisissez le nombre de côtés et le rang dans la suite pour obtenir n'importe quel nombre polygonal exact : le cinquième pentagonal vaut 35 et le dixième carré 100. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- S
- 5
- N
- 5
- Nombre polygonal
- 35
- Nom
- pentagonal
Les nombres polygonaux figurés comptent des points qui forment un polygone régulier à s côtés : triangulaires pour trois côtés, carrés pour quatre, pentagonaux pour cinq, et ainsi de suite pour tout s au moins égal à trois. La formule fermée est exacte en arithmétique entière — P de s et n vaut n fois la quantité (s moins deux) fois n moins (s moins quatre), le tout divisé par deux — ainsi le cinquième pentagonal vaut trente-cinq, le dixième carré cent, et le septième hexagonal quatre-vingt-onze. Cette capacité évalue cette formule pour un nombre de côtés s et un indice positif n, en renvoyant la valeur polygonale, la chaîne de formule et un nom courant lorsque s est un polygone familier.
Ce que sont les nombres polygonaux et comment fonctionne la formule
Imaginez disposer des points unitaires de façon à tracer et remplir un polygone régulier à s côtés, en croissant couche par couche. Le décompte après n couches est le n-ième nombre s-gonal. Pour trois côtés vous retrouvez la suite triangulaire un, trois, six, dix, quinze ; pour quatre côtés les carrés parfaits un, quatre, neuf, seize, vingt-cinq ; pour cinq côtés les pentagonaux un, cinq, douze, vingt-deux, trente-cinq.
La forme fermée générale les unifie toutes : P de s et n vaut n plus (s moins deux) fois le nombre triangulaire de n moins un, ce qui se développe en n fois ((s moins deux) fois n moins (s moins quatre)) sur deux. Comme n et n moins un sont des entiers consécutifs, leur produit est toujours pair, donc la division par deux est exacte avec seules multiplications et additions entières — pas d’arrondi, pas d’échantillonnage, pas de dépendance à l’horloge ni à des graines aléatoires.
Quand vous avez besoin du cinquième heptagonal, envoyez s égal à sept et n égal à cinq ; pour un grand carré, envoyez s égal à quatre et un grand n dans la limite publiée. Des pages sœurs de ce kit peuvent cibler une seule famille polygonale comme les seuls triangulaires ; cette page s’adresse à ceux qui ont besoin de la calculatrice s-gonale générale sous un seul contrat.
Conseils pratiques, limites et recherches liées
Si vous avez besoin de nombres figurés multiprécision à des centaines de chiffres, utilisez une pile de grands entiers dédiée — cette capacité légère de parse est conçue pour des contrôles interactifs et des entrées de taille pédagogique.
En enseignant, préférez des exemples appariés : s égal à trois et n égal à cinq donne quinze (triangulaire) ; s égal à quatre et n égal à cinq donne vingt-cinq (carré) ; s égal à cinq et n égal à cinq donne trente-cinq (pentagonal) ; et s égal à deux ou n égal à zéro démontrent le rejet strict.
Ne confondez pas cet outil s-gonal général avec un test d’appartenance demandant si un entier arbitraire est polygonal pour un certain n — ce problème inverse est une autre intention de recherche et hors de portée ici. Préférez s et n explicites à inventer un champ de nom de polygone en texte libre : une paire d’entiers couvre toutes les familles de polygones réguliers sans orthographes ambiguës ni problèmes de localisation.
Cas d’usage
Validateurs pour concours de programmation et entretiens
Validez des solutions candidates aux problèmes de nombres polygonaux et figurés sans réimplémenter la formule fermée dans chaque banc d’essai de langage.
Démos pédagogiques de suites figurées entre polygones
Projetez s, n, polygonal, formula et name en classe pour que les apprenants voient les cas triangulaire, carré, pentagonal et s-gonal général dans une seule forme de réponse.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un nombre polygonal ?
Un nombre figuré qui compte des points disposés en polygone régulier à s côtés après n couches. Formule : P(s,n)=n*((s-2)*n-(s-4))/2 pour entiers s≥3 et n≥1.
En quoi cela diffère-t-il d’une calculatrice de nombres triangulaires ?
Cet outil accepte tout s≥3 (carrés, pentagonaux, hexagonaux et au-delà) sous la formule s-gonale générale.
La calculatrice teste-t-elle si une valeur est polygonale ?
Non. Elle n’évalue que P(s,n) pour des côtés et un indice donnés. L’appartenance ou la recherche inverse d’un entier arbitraire est hors de portée.
Quelle est la formule du n-ième nombre polygonal ?
P(s, n) = n × ((s − 2) × n − (s − 4)) / 2, où s est le nombre de côtés et n le rang. La division par 2 tombe toujours juste, le résultat est donc toujours un entier : cinq côtés au rang cinq donnent 35.
Quels sont les premiers nombres triangulaires, carrés et pentagonaux ?
Les triangulaires commencent par 1, 3, 6, 10 ; les carrés par 1, 4, 9 ; les pentagonaux par 1, 5, 12 et atteignent 35 au cinquième rang. Chacun compte les points qui remplissent la figure après une couche de plus.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"s":5,"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"s": 5,
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"s":5,"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"s":5,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"s": 5,
"n": 5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.polygonal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_s | 10000 |
max_n | 1000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Élèves, enseignants, auteurs de concours et bâtisseurs de pipelines obtiennent une réponse JSON déterministe sans système de calcul formel, sans approximation flottante, avec la même fonction pure dans l’outil gratuit du navigateur et sur la voie API prépayée.
Ce que sont les nombres polygonaux et comment fonctionne la formule
Un polygone a besoin d’au moins trois côtés, donc s inférieur à trois est rejeté ; l’indice classique commence à un, donc n inférieur à un est rejeté avec invalid_input plutôt que d’inventer une extension signée ou à couche zéro.
Comment appeler l’API et ce qui revient
En cas de succès la réponse inclut s et n comme entiers normalisés, polygonal égal à P de s et n, formula comme la chaîne fermée n fois ((s moins deux) fois n moins (s moins quatre)) sur deux, et name comme une courte étiquette anglaise telle que pentagonal lorsque s est parmi les polygones courants, ou null sinon. Utilisez-le depuis des pipelines de devoirs, des validateurs de concours de programmation, des bacs à sable de préparation d’entretiens, des jobs d’enrichissement de tableurs, ou tout flux qui a besoin d’une évaluation reproductible de nombres polygonaux sans installer de paquets numériques spécialisés sur chaque machine. Envoyez un corps JSON avec deux champs entiers obligatoires. Le champ s est le nombre de côtés du polygone, au moins trois et au plus dix mille — les alias sides, gonal et polygon sont acceptés pour le même sens. Le champ n est l’indice positif du terme voulu, au moins un et au plus un million — les alias index, order et term se mappent sur n. Une validation échouée — s ou n manquant, non-entier, fraction, valeur au-dessus de la limite publiée, s inférieur à trois ou n inférieur à un — renvoie invalid_input et n’est jamais facturée. Le tarif est un forfait $0.002 par requête réussie avec item unitaire et prix marginal nul.
Conseils pratiques, limites et recherches liées
Gardez s et n dans les limites d’entiers sûrs publiées pour que chaque produit intermédiaire reste exact sur le Worker et dans le navigateur ; le gestionnaire rejette aussi les résultats qui sortiraient de la plage d’entiers sûrs JavaScript même si les entrées étaient d’une manière ou d’une autre dans les plafonds. Comme la formule est la même identité des manuels, les élèves peuvent recalculer de petits cas à la main et coller à l’API ligne par ligne. Les tâches échouées qui renvoient invalid_input ne consomment pas le solde prépayé, ce qui maintient les scripts exploratoires peu coûteux lorsque les utilisateurs saisissent de mauvaises valeurs en apprenant le contrat.
Cas d'intégration
Devoirs : calculer des nombres s-gonaux pour tout polygone
Donnez aux élèves un nombre de côtés et un indice et comparez leur valeur figurée calculée à la main à un résultat déterministe de l’API ou du navigateur gratuit.
Questions techniques
Que se passe-t-il si s est inférieur à 3 ou n inférieur à 1 ?
La requête échoue avec invalid_input. Un polygone a besoin d’au moins trois côtés, et l’indice figuré classique commence à n=1. Les tâches échouées ne sont pas facturées.
La calculatrice de nombres polygonaux est-elle gratuite ?
L’outil navigateur est gratuit et s’exécute localement. Les appels API utilisent le solde KIT prépayé à $0.002 par requête réussie ; les échecs ne sont jamais facturés.