Calculateur du coefficient multinomial

Le coefficient multinomial répond à une question de dénombrement fondamentale : étant donné n éléments distincts répartis en k groupes étiquetés de tailles n1, n2, jusqu'à nk, combien d'affectations distinctes existent lorsque l'ordre à l'intérieur de chaque groupe n'importe pas ? Cette quantité s'écrit comme le multinomial de n sur n1,n2,…,nk et vaut la factorielle de n divisée par le produit des factorielles de chaque groupe. Lorsqu'il n'y a que deux groupes, elle se réduit au coefficient binomial familier ; avec trois groupes ou plus, elle compte les réarrangements de mots à lettres répétées, les cellules de tableaux de contingence et les façons de distribuer des cartes en mains fixes. Cette capacité évalue l'identité en arithmétique BigInt afin que les grands coefficients restent exacts au lieu de déborder la virgule flottante ou les limites d'entiers sûrs.

Ce que signifie le coefficient multinomial et comment il se calcule

Un coefficient multinomial compte le nombre de façons de partitionner un ensemble de n objets distincts en k groupes étiquetés de tailles prescrites n1, n2, jusqu'à nk qui somment exactement à n. La forme fermée est la factorielle de n sur le produit des factorielles de ces tailles de groupe.

Des exemples classiques de cours rendent la définition concrète : le nombre de réarrangements distincts des lettres de MISSISSIPPI est onze factorielle sur quatre factorielle fois quatre factorielle fois deux factorielle fois une factorielle, et le nombre de façons de distribuer un jeu de cinquante-deux cartes en quatre mains étiquetées de treize cartes est cinquante-deux factorielle sur treize factorielle à la quatrième. Lorsque k vaut deux, la formule se réduit au coefficient binomial C(n,n1), de sorte que les multinomiaux sont une généralisation stricte de n parmi r.

Évaluer les factorielles de façon naïve est désastreux pour un grand n car les valeurs intermédiaires explosent bien avant que le rapport final soit modéré. Cet outil multiplie donc des binomiaux séquentiels—C(n,n1) fois C(n−n1,n2) fois le choose restant suivant, et ainsi de suite—en utilisant JavaScript BigInt afin que chaque intermédiaire reste exact et que le dénombrement final soit renvoyé comme chaîne décimale.

Ce contrat correspond aux manuels standards de combinatoire et aux juges de concours de programmation, si bien que vous pouvez faire confiance au nombre face aux calculs à la main pour un petit n et face aux tables connues pour les plus grands, sans dérive en virgule flottante ni débordement silencieux.

Comment lancer le calcul et lire le résultat

Le champ n est le nombre total d'éléments—l'indice supérieur du multinomial—et doit être un entier non négatif de zéro à dix mille. Le champ groups est un tableau non vide d'entiers non négatifs n1, n2, jusqu'à nk qui forment une partition de n : leur somme doit égaler n exactement, et chaque taille doit être un entier entre zéro et n inclus. Une réponse réussie renvoie n comme nombre, groups comme le tableau d'entiers coercé, count comme chaîne décimale de la valeur multinomiale exacte, et formula comme la chaîne n!

/(n1! n2! … nk!) afin que les clients puissent afficher ou journaliser l'identité sans la coder en dur. Utilisez-le depuis des correcteurs de devoirs, des validateurs de concours de programmation, des bacs à sable de préparation d'entretien, des jobs d'enrichissement de tableurs, des démonstrations de probabilité multinomiale qui ont besoin du coefficient avant de multiplier par des puissances de probabilité, des outils d'enseignement de tableaux de contingence, ou tout flux qui a besoin d'un dénombrement multinomial reproductible sans installer de paquets multiprécision sur chaque machine qui exécute le pipeline.