Calculadora del coeficiente multinomial

El coeficiente multinomial responde a una pregunta fundamental de conteo: dados n elementos distintos repartidos en k grupos etiquetados de tamaños n1, n2, hasta nk, ¿cuántas asignaciones distintas existen cuando el orden dentro de cada grupo no importa? Esa cantidad se escribe como el multinomial de n sobre n1,n2,…,nk y es igual al factorial de n dividido por el producto de los factoriales de cada grupo. Cuando solo hay dos grupos se reduce al conocido coeficiente binomial; con tres o más grupos cuenta reordenamientos de palabras con letras repetidas, celdas de tablas de contingencia y formas de repartir cartas en manos fijas. Esta capacidad evalúa la identidad con aritmética BigInt para que los coeficientes grandes permanezcan exactos en lugar de desbordar el punto flotante o los límites de enteros seguros.

Qué significa el coeficiente multinomial y cómo se calcula

Un coeficiente multinomial cuenta el número de formas de particionar un conjunto de n objetos distintos en k grupos etiquetados de tamaños prescritos n1, n2, hasta nk que suman exactamente n. La forma cerrada es el factorial de n sobre el producto de los factoriales de esos tamaños de grupo.

Ejemplos clásicos de aula hacen concreta la definición: el número de reordenamientos distintos de las letras de MISSISSIPPI es once factorial sobre cuatro factorial por cuatro factorial por dos factorial por un factorial, y el número de formas de repartir un mazo de cincuenta y dos cartas en cuatro manos etiquetadas de trece cartas es cincuenta y dos factorial sobre trece factorial a la cuarta. Cuando k vale dos la fórmula se reduce al coeficiente binomial C(n,n1), de modo que los multinomiales son una generalización estricta de n elige r.

Evaluar los factoriales de forma ingenua es desastroso para n grande porque los valores intermedios explotan mucho antes de que la razón final sea moderada. Por ello esta herramienta multiplica binomiales secuenciales—C(n,n1) por C(n−n1,n2) por el siguiente choose restante, y así sucesivamente—usando JavaScript BigInt para que cada intermedio permanezca exacto y el conteo final se devuelva como cadena decimal.

Ese contrato coincide con los manuales estándar de combinatoria y con los jueces de concursos de programación, de modo que usted puede confiar en el número frente a cálculos a mano para n pequeño y frente a tablas conocidas para los mayores sin deriva de punto flotante ni desbordamiento silencioso.

Cómo hacer el cálculo y leer el resultado

El campo n es el número total de elementos—el índice superior del multinomial—y debe ser un entero no negativo desde cero hasta diez mil. El campo groups es un arreglo no vacío de enteros no negativos n1, n2, hasta nk que forman una partición de n: su suma debe ser exactamente n, y cada tamaño debe ser un entero entre cero y n inclusive.

Una respuesta exitosa devuelve n como número, groups como el arreglo de enteros coercionado, count como cadena decimal del valor multinomial exacto, y formula como la cadena n! /(n1! n2! … nk!) para que los clientes puedan mostrar o registrar la identidad sin codificarla a mano.

Úselo desde calificadores de tareas, validadores de concursos de programación, entornos de preparación de entrevistas, trabajos de enriquecimiento de hojas de cálculo, demostraciones de probabilidad multinomial que necesitan el coeficiente antes de multiplicar por potencias de probabilidad, herramientas didácticas de tablas de contingencia, o cualquier flujo que necesite un conteo multinomial reproducible sin instalar paquetes de multiprecisión en cada máquina que ejecute el pipeline.