Combinaciones sin repetición

Las combinaciones sin repetición responden a una pregunta de conteo básica en estadística y matemática discreta: dados n elementos distintos, ¿cuántos grupos diferentes de tamaño k puede formar usted cuando ningún elemento aparece dos veces y el orden de la selección no importa? Esa cantidad es el coeficiente binomial C(n,k), también escrito n elige k. No hay muestreo, ni red, ni redondeo dependiente de la fecha: cada par válido (n, k) produce el mismo entero siempre.

Qué cuentan las combinaciones sin repetición

Las combinaciones sin repetición cuentan de cuántas maneras puede elegir un subconjunto de k elementos de un conjunto de n elementos distintos cuando cada elemento aparece como máximo una vez y el orden de la selección no importa. En el aula se dice n elige k; en notación estadística es el coeficiente binomial C(n,k). La identidad clásica afirma que C(n,k) es el factorial de n dividido por el factorial de k por el factorial de (n menos k).

Esa misma cantidad aparece como coeficiente en el desarrollo binomial de (x más y) a la n, y como el número de k-subconjuntos de un conjunto de n elementos. Como se ignora el orden, elegir a Alice y después a Bob es la misma combinación que elegir a Bob y después a Alice, de modo que el conteo es estrictamente menor que la permutación correspondiente P(n,k) siempre que k sea al menos dos.

Como la repetición está prohibida, no puede escoger a la misma persona dos veces: esa es la diferencia frente a las combinaciones con repetición, también llamadas combinaciones de multiconjuntos, cuyo conteo es C(n+k−1, k). Los casos frontera forman parte de la definición: C(n,0) y C(n,n) valen ambos uno, C(n,1) iguala n, y C(0,0) es uno por el convenio del producto vacío. Si k es mayor que n no existe un k-subconjunto de un n-conjunto, así que esta calculadora rechaza el par en lugar de devolver cero o un binomial generalizado.

La implementación nunca muestrea, nunca depende del reloj y nunca redondea: evalúa el producto reducido desde (n menos k más uno) hasta n, dividido paso a paso por uno hasta k, con aritmética BigInt exacta para que los coeficientes grandes sigan siendo enteros precisos y no desborden la mantisa de un número en coma flotante.

Usos en el aula, el muestreo y los concursos

Los profesores de estadística usan combinaciones sin repetición al introducir el muestreo sin reemplazo: el número de comités distintos de k personas de una clase de n, el número de manos de k cartas de una baraja de 52, o el número de maneras de extraer k unidades defectuosas de un lote de n en un esquema hipergeométrico.

Esos problemas comparten el mismo entero C(n,k); esta página está escrita para quien busca esa frase de forma explícita, incluidos los alumnos a quienes acaban de advertir que no la confundan con combinaciones que permiten repeticiones. Los generadores de exámenes pueden fijar el camino de éxito con n igual a diez y k igual a tres, que produce ciento veinte, y el camino de rechazo con cualquier k que supere n, que debe fallar en lugar de devolver cero.

Los programadores de concursos y los sandboxes de entrevista necesitan un oráculo exacto para problemas de conteo de combinaciones sin reimplementar aritmética de multiprecisión en cada arnés de lenguaje. Las páginas hermanas pueden tratar permutaciones, combinaciones con repetición o una calculadora nCr genérica; este aterrizaje es específicamente el enunciado sin repetición. Combine el conteo con su propio código de listado si necesita los subconjuntos concretos; esta capacidad devuelve únicamente el entero.