Calculadora do coeficiente multinomial

O coeficiente multinomial responde a uma pergunta fundamental de contagem: dados n itens distintos distribuídos em k grupos rotulados de tamanhos n1, n2, até nk, quantas atribuições distintas existem quando a ordem dentro de cada grupo não importa? Essa quantidade se escreve como o multinomial de n sobre n1,n2,…,nk e é igual ao fatorial de n dividido pelo produto dos fatoriais de cada grupo. Quando há apenas dois grupos, ela se reduz ao conhecido coeficiente binomial; com três ou mais grupos, conta rearranjos de palavras com letras repetidas, células de tabelas de contingência e formas de distribuir cartas em mãos fixas. Esta capacidade avalia a identidade com aritmética BigInt para que coeficientes grandes permaneçam exatos em vez de estourar o ponto flutuante ou os limites de inteiros seguros.

O que o coeficiente multinomial significa e como é calculado

Um coeficiente multinomial conta o número de maneiras de particionar um conjunto de n objetos distintos em k grupos rotulados de tamanhos prescritos n1, n2, até nk que somam exatamente n. A forma fechada é o fatorial de n sobre o produto dos fatoriais desses tamanhos de grupo.

Exemplos clássicos de sala de aula tornam a definição concreta: o número de rearranjos distintos das letras de MISSISSIPPI é onze fatorial sobre quatro fatorial vezes quatro fatorial vezes dois fatorial vezes um fatorial, e o número de maneiras de distribuir um baralho de cinquenta e duas cartas em quatro mãos rotuladas de treze cartas é cinquenta e dois fatorial sobre treze fatorial elevado à quarta.

Quando k vale dois a fórmula se reduz ao coeficiente binomial C(n,n1), de modo que os multinomiais são uma generalização estrita de n escolhe r. Avaliar os fatoriais de forma ingênua é desastroso para n grande porque os valores intermediários explodem muito antes de a razão final ser moderada. Por isso esta ferramenta multiplica binomiais sequenciais—C(n,n1) vezes C(n−n1,n2) vezes o próximo choose restante, e assim por diante—usando JavaScript BigInt para que cada intermediário permaneça exato e a contagem final seja devolvida como string decimal.

Esse contrato coincide com os manuais padrão de combinatória e com os juízes de competições de programação, de modo que você pode confiar no número frente a cálculos manuais para n pequeno e frente a tabelas conhecidas para os maiores sem deriva de ponto flutuante nem wraparound silencioso.

Como fazer o cálculo e ler o resultado

O campo n é o número total de itens—o índice superior do multinomial—e deve ser um inteiro não negativo de zero a dez mil. O campo groups é um array não vazio de inteiros não negativos n1, n2, até nk que formam uma partição de n: a soma deve ser exatamente n, e cada tamanho deve ser um inteiro entre zero e n inclusive.

Uma resposta bem-sucedida devolve n como número, groups como o array de inteiros coagido, count como string decimal do valor multinomial exato, e formula como a string n! /(n1! n2! … nk!) para que clientes possam exibir ou registrar a identidade sem codificá-la manualmente.

Use-o a partir de corretores de lição de casa, validadores de competições de programação, sandboxes de preparação para entrevistas, jobs de enriquecimento de planilhas, demos de probabilidade multinomial que precisam do coeficiente antes de multiplicar por potências de probabilidade, ferramentas didáticas de tabelas de contingência, ou qualquer fluxo que precise de uma contagem multinomial reproduzível sem instalar pacotes de multiprecisão em cada máquina que execute o pipeline.