Polygonalzahl-Rechner
Wählen Sie die Seitenzahl und die Stelle in der Folge und erhalten Sie jede Polygonalzahl exakt: Die fünfte Fünfeckszahl ist 35 und die zehnte Quadratzahl 100. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- S
- 5
- N
- 5
- Polygonalzahl
- 35
- Name
- pentagonal
Figurierte Polygonalzahlen zählen Punkte, die ein regelmäßiges Polygon mit s Seiten bilden: Dreieckszahlen für drei Seiten, Quadrate für vier, Fünfeckszahlen für fünf und so weiter für jedes s mindestens drei. Die geschlossene Formel ist in Ganzzahlarithmetik exakt — P von s und n ist n mal die Größe (s minus zwei) mal n minus (s minus vier), alles geteilt durch zwei — so ist die fünfte Fünfeckszahl fünfunddreißig, die zehnte Quadratzahl einhundert und die siebte Sechseckszahl einundneunzig. Diese Fähigkeit wertet jene Formel für eine Seitenzahl s und einen positiven Index n aus und liefert den polygonalen Wert, die Formelzeichenkette und einen geläufigen Namen, wenn s ein vertrautes Polygon ist.
Was Polygonalzahlen sind und wie die Formel funktioniert
Stellen Sie sich vor, Einheitspunkte so anzuordnen, dass sie ein regelmäßiges Polygon mit s Seiten umreißen und füllen, Schicht für Schicht wachsend. Die Anzahl nach n Schichten ist die n-te s-eckige Zahl. Für drei Seiten erhalten Sie die Dreiecksfolge eins, drei, sechs, zehn, fünfzehn; für vier Seiten die perfekten Quadrate eins, vier, neun, sechzehn, fünfundzwanzig; für fünf Seiten die Fünfeckszahlen eins, fünf, zwölf, zweiundzwanzig, fünfunddreißig.
Die allgemeine geschlossene Form vereinheitlicht sie alle: P von s und n ist n plus (s minus zwei) mal die Dreieckszahl von n minus eins, was sich zu n mal ((s minus zwei) mal n minus (s minus vier)) durch zwei ausweitet. Weil n und n minus eins aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind, ist ihr Produkt stets gerade, sodass die Division durch zwei mit nur ganzzahligen Multiplikationen und Additionen exakt ist — kein Runden, kein Abtasten und keine Abhängigkeit von Wanduhrzeit oder Zufallskeimen.
Wenn Sie die fünfte Siebeneckszahl brauchen, senden Sie s gleich sieben und n gleich fünf; für ein großes Quadrat senden Sie s gleich vier und ein großes n innerhalb der veröffentlichten Obergrenze. Geschwisterseiten in diesem Kit können eine einzelne Polygonfamilie wie nur Dreieckszahlen anvisieren; diese Seite ist für Personen, die den allgemeinen s-eckigen Rechner in einem Vertrag brauchen.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Wenn Sie mehrstellige figurierte Zahlen mit Hunderten von Ziffern brauchen, verwenden Sie einen eigenen Big-Integer-Stack — diese leichte Parse-Fähigkeit ist für interaktive Checks und lehrgroße Eingaben gebaut. Beim Unterrichten bevorzugen Sie gepaarte Beispiele: s gleich drei und n gleich fünf ergibt fünfzehn (dreieckig); s gleich vier und n gleich fünf ergibt fünfundzwanzig (quadratisch); s gleich fünf und n gleich fünf ergibt fünfunddreißig (fünfeckig); und s gleich zwei oder n gleich null demonstrieren den harten Ablehnungspfad.
Verwechseln Sie dieses allgemeine s-eckige Werkzeug nicht mit einem Zugehörigkeitstest, der fragt, ob eine beliebige ganze Zahl für irgendein n polygonal ist — dieses inverse Problem ist eine andere Suchabsicht und hier außer Scope. Bevorzugen Sie explizites s und n gegenüber dem Erfinden eines Freitext-Polygonnamensfelds: ein ganzzahliges Paar deckt jede reguläre Polygonfamilie ohne mehrdeutige Schreibweisen oder Lokalisierungsprobleme ab.
Anwendungsfälle
Validatoren für Programmierwettbewerbe und Interviews
Prüfen Sie Kandidatenlösungen zu polygonalen und figurierten Zahlenproblemen, ohne die geschlossene Formel in jedem Sprach-Harness neu zu implementieren.
Lehrdemos figurierter Folgen über Polygone hinweg
Projizieren Sie s, n, polygonal, formula und name im Unterricht, damit Lernende dreieckige, quadratische, fünfeckige und allgemeine s-eckige Fälle in einer Antwortform sehen.
Häufige Fragen
Was ist eine Polygonalzahl?
Eine figurierte Zahl, die Punkte in einem regelmäßigen s-seitigen Polygon nach n Schichten zählt. Formel: P(s,n)=n*((s-2)*n-(s-4))/2 für ganze s≥3 und n≥1.
Prüft der Rechner, ob ein Wert polygonal ist?
Nein. Er wertet nur P(s,n) für gegebene Seiten und Index aus. Zugehörigkeit oder inverse Suche für eine beliebige ganze Zahl liegt außer Scope.
Wie lautet die Formel für die n-te Polygonalzahl?
P(s, n) = n × ((s − 2) × n − (s − 4)) / 2, wobei s die Seitenzahl und n die Stelle ist. Die Division durch 2 geht immer auf, das Ergebnis ist also immer ganzzahlig: fünf Seiten an fünfter Stelle ergeben 35.
Wie lauten die ersten Dreiecks-, Quadrat- und Fünfeckszahlen?
Dreieckszahlen beginnen mit 1, 3, 6, 10; Quadratzahlen mit 1, 4, 9; Fünfeckszahlen mit 1, 5, 12 und erreichen an fünfter Stelle 35. Jede zählt die Punkte, die die Figur nach einer weiteren Schicht füllen.
Was unterscheidet diesen Rechner von einem Dreieckszahl-Rechner?
Ein Dreieckszahl-Rechner kennt nur eine Familie. Hier wählen Sie die Seitenzahl frei, ab drei aufwärts, und erhalten mit derselben Formel Dreiecks-, Quadrat-, Fünfecks- oder Siebeneckszahlen, ohne das Werkzeug zu wechseln.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"s":5,"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"s": 5,
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"s": 5,
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"s":5,"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"s":5,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/polygonal-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"s": 5,
"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.polygonal_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_s | 10000 |
max_n | 1000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Studierende, Lehrkräfte, Wettbewerbsautoren und Pipeline-Bauer erhalten eine deterministische JSON-Antwort ohne Computeralgebrasystem, ohne Gleitkomma-Raten und mit derselben reinen Funktion im kostenlosen Browser-Tool und auf dem vorausbezahlten API-Pfad.
Was Polygonalzahlen sind und wie die Formel funktioniert
Ein Polygon braucht mindestens drei Seiten, daher wird s unter drei abgelehnt; der klassische Index beginnt bei eins, daher wird n unter eins mit invalid_input abgelehnt, statt eine vorzeichenbehaftete oder Null-Schicht-Erweiterung zu erfinden.
Wie Sie die API aufrufen und was zurückkommt
Bei Erfolg enthält die Antwort s und n als normalisierte ganze Zahlen, polygonal gleich P von s und n, formula als die geschlossene Zeichenkette n mal ((s minus zwei) mal n minus (s minus vier)) durch zwei, und name als kurze englische Bezeichnung wie pentagonal, wenn s unter den gängigen Polygonen ist, sonst null. Nutzen Sie es aus Hausaufgaben-Pipelines, Programmierwettbewerbs-Validatoren, Interview-Vorbereitungs-Sandboxes, Tabellenanreicherungsjobs oder jedem Workflow, der eine reproduzierbare Polygonalzahl-Auswertung braucht, ohne spezialisierte Zahlenpakete auf jeder Maschine zu installieren. Senden Sie einen JSON-Körper mit zwei erforderlichen ganzzahligen Feldern. Feld s ist die Seitenzahl des Polygons, mindestens drei und höchstens zehntausend — Alias sides, gonal und polygon werden mit derselben Bedeutung akzeptiert. Feld n ist der positive Index des gewünschten Glieds, mindestens eins und höchstens eine Million — Alias index, order und term mappen auf n. Fehlgeschlagene Validierung — fehlendes s oder n, Nicht-Ganzzahl, Bruch, Wert über dem veröffentlichten Limit, s unter drei oder n unter eins — liefert invalid_input und wird nie berechnet. Die Preisgestaltung ist pauschal $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheitsposten und null marginalem Stückpreis.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Weil die Formel dieselbe Identität aus Lehrbüchern ist, können Studierende kleine Fälle von Hand nachrechnen und die API Zeile für Zeile treffen. Fehlgeschlagene Tasks, die invalid_input liefern, verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, was explorative Skripte günstig hält, wenn Nutzer beim Lernen des Vertrags schlechte Werte tippen.
Integrationsbeispiele
Hausaufgaben: s-eckige Zahlen für jedes Polygon berechnen
Geben Sie Studierenden eine Seitenzahl und einen Index und prüfen Sie ihren handberechneten figurierten Wert gegen ein deterministisches API- oder kostenloses Browser-Ergebnis.
Technische Fragen
Worin unterscheidet sie sich von einem Dreieckszahl-Rechner?
Dreieckszahlen sind der Sonderfall s=3. Dieses Werkzeug akzeptiert jedes s≥3 (Quadrate, Fünfecks-, Sechseckszahlen und darüber) unter der allgemeinen s-eckigen Formel.
Was passiert, wenn s unter 3 oder n unter 1 liegt?
Die Anfrage scheitert mit invalid_input. Ein Polygon braucht mindestens drei Seiten, und der klassische figurierte Index beginnt bei n=1. Fehlgeschlagene Tasks werden nicht berechnet.
Ist der Polygonalzahl-Rechner kostenlos?
Das Browser-Tool ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; Fehlschläge werden nie berechnet.