Représentation problème de Waring
Avec des carrés, 30 devient 25 + 4 + 1, soit 5² + 2² + 1², en prenant toujours le plus grand carré qui tient. Choisissez un nombre et une puissance d'au moins deux pour voir chaque terme et une somme qui correspond. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 30
- K
- 2
- Bases
- 5, 2, 1
- Nombre de termes
- 3
- Sum
- 30
- Représentation
- 5^2 + 2^2 + 1^2
La question classique de Waring demande comment tout entier naturel s'écrit comme somme de puissances k-ièmes d'entiers non négatifs. Cette capacité met en œuvre la construction gloutonne standard : étant donné un entier non négatif n et un exposant k d'au moins deux, elle soustrait de façon répétée la plus grande puissance k-ième parfaite qui ne dépasse pas le reste jusqu'à l'épuiser. Vous recevez la liste ordonnée des bases, la valeur de chaque terme, une chaîne d'affichage et une somme égale à n à chaque appel réussi. Les limites maintiennent n et k dans une arithmétique entière sûre pour les workers de bord sans multiprécision.
Ce que signifie la représentation gloutonne au sens de Waring
Une puissance k-ième est un entier de la forme m élevé à k, où m est un entier non négatif et k un exposant fixe. Le problème de Waring en théorie des nombres étudie le plus petit g(k) tel que tout naturel soit somme d'au plus g(k) puissances de ce type ; des théorèmes célèbres donnent g(2) égal à quatre (théorème des quatre carrés de Lagrange) et des bornes explicites pour les k plus grands. Ce point d'accès ne cherche pas la représentation la plus courte ni ne prouve g(k).
Il applique l'heuristique gloutonne transparente des manuels et des concours : tant que le reste r est positif, choisissez le plus grand m avec m à la k au plus r, enregistrez cette base et remplacez r par r moins m à la k. Comme un à la k vaut toujours un pour k supérieur ou égal à un, tout entier non négatif admet une expansion gloutonne finie et la boucle se termine avec une somme égale à n.
L'expansion gloutonne n'est pas toujours minimale—vingt-trois en cubes est l'illustration classique où l'avidité utilise deux cubes de deux et sept uns, alors que d'autres identités utilisent moins de cubes—mais elle est unique comme procédure, entièrement déterministe et facile à auditer terme à terme. Zéro est représenté comme somme vide avec la chaîne zéro. Les puissances parfaites se réduisent à un seul terme : cent avec k égal à deux ne produit que dix au carré.
Contrat d'entrée, champs de réponse et validation
Un court champ formula reformule la règle gloutonne pour que l'interface n'invente pas de prose. Les racines k-ièmes entières se calculent par recherche binaire vérifiée sur des multiplications entières, de sorte que Math.pow flottant n'est qu'une graine, jamais la seule autorité. Un plafond de dix mille termes protège la taille de la réponse si des restes extrêmes empilaient des uns ; avec la limite de n publiée, cette garde est une ceinture de sécurité plutôt qu'un chemin courant.
Exemple : n égal à trente et k égal à deux renvoie les bases cinq, deux, un et la chaîne cinq au carré plus deux au carré plus un au carré.
Cas d’usage
Démonstrations de Waring en classe
Montrez aux élèves comment l'avidité construit une somme de carrés ou de cubes pour tout n, chaque base et valeur prêtes pour le tableau.
Oracles de concours et de LMS
Notez des tâches de programmation qui acceptent toute expansion valide en puissances k-ièmes en la comparant à cette référence gloutonne déterministe.
Questions fréquentes
Comment fonctionne le calculateur de représentation du problème de Waring ?
Envoyez l'entier non négatif n et l'exposant k >= 2.
L'expansion gloutonne est-elle toujours la plus courte ?
Non. L'avidité est unique comme procédure et toujours correcte comme somme, mais des expansions plus courtes peuvent exister (par exemple pour certains cubes). Ce point d'accès ne renvoie que la liste gloutonne.
Comment écrire 30 comme somme de carrés ?
Le plus grand carré inférieur ou égal à 30 est 25, il reste 5. Puis 4 convient, il reste 1, et enfin 1. Ainsi 30 = 5² + 2² + 1², trois termes dont la somme redonne 30.
Que se passe-t-il si le nombre est déjà une puissance exacte ?
Il est rendu en un seul terme. Avec des carrés, 100 vaut simplement 10², car le plus grand carré qui tient est le nombre entier et il ne reste rien.
Quel est le résultat pour zéro ?
Zéro apparaît comme une somme vide, écrite simplement zéro. Aucune puissance n'est à retirer : la liste des termes reste vide et le total correspond toujours.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/waring-representation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":30,"k":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/waring-representation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 30,
"k": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/waring-representation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 30,
"k": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/waring-representation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":30,"k":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":30,"k":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/waring-representation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 30,
"k": 2
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.waring_representation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_n | 1000000000 |
max_k | 40 |
max_terms | 10000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les puissances inférieures à deux sont rejetées avec invalid_input au lieu de traiter en silence les premières puissances comme une somme triviale d'unités.
Contrat d'entrée, champs de réponse et validation
Envoyez en POST un corps JSON avec deux entiers obligatoires : n, la cible non négative de zéro à un milliard, et k, l'exposant de minimum deux et maximum quarante. Les alias number pour n et power pour k sont acceptés pour le confort du client. Champs manquants, non entiers, fractions, n négatif, k inférieur à deux ou valeurs au-dessus des plafonds publiés échouent avec invalid_input en nommant le problème ; ces échecs ne sont pas facturés. En succès la charge utile répète n et k, liste les bases dans l'ordre produit par l'avidité (non croissante), développe terms en objets avec base, power et value, signale term_count et sum (toujours égal à n) et construit une chaîne lisible joignant chaque base caret puissance par des signes plus.
Où une API de somme gloutonne de puissances apporte de la valeur
Les cours de théorie des nombres et la préparation olympique ont besoin d'un oracle en direct qui transforme une discussion abstraite sur Waring en bases concrètes que les élèves peuvent vérifier à la main. Gardez n et k dans les limites documentées, figez representation et bases dans les tests, et vous obtenez des expansions au style Waring reproductibles pour les devoirs, plugins LMS et workers de bord sans déployer votre propre infrastructure de calcul symbolique. Les plateformes de codage utilisent la même boucle gloutonne comme solution de référence lorsque l'énoncé demande toute expansion valide plutôt que la minimale, et une petite API de parse évite d'embarquer multiprécision ou CAS dans les correcteurs. Les carnets de recherche qui comparent la longueur gloutonne aux bornes connues de g(k) peuvent envoyer de nombreux couples (n, k) via l'API et journaliser term_count sans réimplémenter la racine entière dans chaque langage. Comme l'implémentation est pure parse de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant, et une entrée invalide ne consomme pas le solde.
Cas d'intégration
Baselines de longueur minimale
Journalisez en lot le term_count glouton face aux bornes connues de g(k) pour mesurer l'écart entre l'avidité et la longueur optimale de Waring.
Questions techniques
Pourquoi k doit-il être au moins égal à deux ?
Les questions de type Waring sur les puissances k-ièmes commencent aux carrés (k=2). Les premières puissances ne feraient que découper n en uns ; k inférieur à deux est rejeté avec invalid_input et n'est pas facturé.
Que contient la réponse ?
n et k répétés, bases dans l'ordre glouton, terms avec base/power/value, term_count, sum égal à n, une chaîne representation et une courte étiquette formula.
Combien coûte l'outil de représentation de Waring ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.