Lucas-Primzahl-Pruefer
Geben Sie einen Index ein und sehen Sie, ob die Lucas-Zahl an dieser Stelle prim ist: L(5) ist 11, eine zweistellige Primzahl, L(6) dagegen 18 und zusammengesetzt. Jeder Wert wird exakt aus 2, 1, 3, 4, 7 … aufgebaut. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 5
- Lucas
- 11
- Lucas-Ziffern
- 2
Lucas-Zahlen bilden die Begleitfolge der Fibonacci-Zahlen: L(0) ist 2, L(1) ist 1 und jedes spätere Glied ist die Summe der beiden vorherigen, sodass die Folge mit 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 und so weiter beginnt. Eine Lucas-Primzahl ist einfach eine Lucas-Zahl, die zugleich eine Primzahl ist — klassische Beispiele sind L(0)=2, L(2)=3, L(4)=7, L(5)=11, L(7)=29 und L(8)=47, während L(1)=1 und L(3)=4 nicht prim sind.
Was Lucas-Zahlen sind und wann L(n) prim sein kann
Die Lucas-Folge teilt die Fibonacci-Rekursion, startet aber mit einem anderen Paar von Anfangswerten. Mit L(0)=2 und L(1)=1 erfüllt jedes spätere Glied L(n)=L(n-1)+L(n-2). Die geschlossene Form L(n)=φ^n+(1−φ)^n, wobei φ der goldene Schnitt ist, zeigt, dass die Glieder exponentiell wie φ^n wachsen, sodass L(n) rasch zu einer mehrstelligen ganzen Zahl wird.
Eine Lucas-Primzahl ist ein Glied L(n), das im üblichen Sinn eine Primzahl ist: größer als eins und ohne positive Teiler außer eins und sich selbst. Kleine Indizes verdeutlichen bereits den Unterschied: L(0)=2 ist prim, L(1)=1 ist definitionsgemäß nicht prim, L(2)=3, L(4)=7 und L(5)=11 sind prim, während L(3)=4 und L(6)=18 zusammengesetzt sind. Zahlentheoretiker untersuchen, welche Indizes n ein primes L(n) liefern können; viele zusammengesetzte Indizes erzwingen algebraische Faktorisierungen von L(n), sodass die Suche nach großen Lucas-Primzahlen sich auf sorgfältig gewählte n konzentriert.
Wo ein Lucas-Primzahl-Prüfer in reale Arbeitsabläufe passt
Lehrkräfte und Olympiade-Trainer nutzen einen Lucas-Primzahl-Prüfer, um Schülertabellen von L(n) zu prüfen, Gegenbeispiele zu erzeugen, bei denen die Rekursion eine zusammengesetzte Zahl liefert, und Lucas-Primzahlen mit Fibonacci-Primzahlen in derselben Stunde zu kontrastieren. Puzzle- und Freizeitmathematik-Generatoren filtern Kandidatensaatgut so, dass nur Indizes, deren Lucas-Wert prim ist, in eine Leveltabelle gelangen — ein strengeres und markanteres Tor als ein schlichter Primtest auf beliebigen ganzen Zahlen.
Forschungsnotizbücher und Wettbewerbsplattformen brauchen manchmal eine schnelle Plausibilitätsprüfung, bevor eine schwerere Suche nach großen Lucas-Primzahlen startet; dieser Endpunkt für n bis zu einigen hundert bestätigt die Kleintabellen-Basis, ohne ein Computeralgebrasystem aufzusetzen. Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn die Suchabsicht oder die Produktregel speziell die Primzahligkeit von L(n) ist — nicht wenn Sie nur einen allgemeinen Primtest einer beliebigen ganzen Zahl brauchen, nicht wenn Sie den Lucas–Lehmer-Test für Mersenne-Zahlen 2^p−1 brauchen und nicht wenn Sie den Lucas-Satz für Binomialkoeffizienten modulo einer Primzahl brauchen.
Anwendungsfälle
Puzzle-Saat- und Level-Filter
Akzeptieren Sie nur Indizes n, bei denen L(n) prim ist, damit Spielsaaten einer markanten Lucas-Primfolge folgen statt beliebigen Primzahlen.
Kleintabellen-Basis für Forschungsnotizen
Bestätigen Sie L(n) und die Primzahligkeit für n bis zu einigen hundert, bevor schwerere Suchen oder CAS-Skripte für größere Lucas-Primzahlen starten.
Häufige Fragen
Was ist eine Lucas-Primzahl?
Eine Lucas-Zahl L(n), die zugleich eine primale ganze Zahl ist. Zum Beispiel sind L(0)=2, L(2)=3, L(4)=7 und L(5)=11 Lucas-Primzahlen; L(1)=1 und L(3)=4 sind es nicht.
Wie ist L(n) hier definiert?
L(0)=2, L(1)=1 und L(n)=L(n−1)+L(n−2) für n≥2. Dieselbe Rekursion wie Fibonacci, mit anderen Startwerten.
Welche Lucas-Zahlen sind Primzahlen?
Unter den ersten Gliedern sind L(0)=2, L(2)=3, L(4)=7, L(5)=11, L(7)=29 und L(8)=47 prim. L(1)=1 ist per Definition keine Primzahl, L(3)=4 und L(6)=18 sind zusammengesetzt.
Was zeigt das Ergebnis für den Index 5?
Es zeigt L(5) = 11, nennt 2 Stellen und bestätigt, dass der Wert prim ist. Sie erhalten die vollständige Lucas-Zahl statt nur Ja oder Nein und können sie mit Ihrer eigenen Tabelle vergleichen.
Bis zu welchem Index kann ich prüfen?
Jeden ganzzahligen Index von 0 bis 200. Negative Indizes werden abgelehnt, weil Lucas-Zahlen dafür hier nicht definiert sind. In diesem Bereich wird der Wert exakt berechnet, bevor er geprüft wird.
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Für Entwickler — API-Zugang
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Aufruf aus Ihrem Stack
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-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/lucas-prime", {
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.lucas_prime",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
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}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
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Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dieser Lucas-Primzahl-Prüfer akzeptiert einen einzigen nichtnegativen ganzzahligen Index n, berechnet L(n) mit exakter BigInt-Arithmetik, führt einen deterministischen Probedivisions-Primtest durch und liefert den Wert, die Ziffernanzahl und ein klares is_prime-Flag. Derselbe reine Algorithmus läuft kostenlos im Browser und auf der API, sodass Hausaufgabenkontrollen und Automatisierung nie abweichen. Negative Indizes werden mit invalid_input abgelehnt, bevor eine Berechnung läuft.
Was Lucas-Zahlen sind und wann L(n) prim sein kann
Diese Fähigkeit setzt jene tiefen Teilbarkeitssätze nicht voraus — sie baut L(n) stets exakt auf und prüft den Wert —, sodass die Antwort auch für Grenzfälle wie n=0 oder n=1 korrekt bleibt und das zurückgegebene Feld lucas die Zahl ist, die ein Schüler beim Ausrollen der Rekursion von Hand schreiben würde. Diese Transparenz zählt im Unterricht und in der Wettbewerbvorbereitung, wo der Zwischenwert genauso wichtig ist wie das endgültige Ja-oder-Nein-Flag.
Eingabevertrag, Antwortfelder und Fehlerverhalten
Negatives n ist ausdrücklich verboten: die Meldung besagt, dass n nichtnegativ sein muss, weil dieser Prüfer Lucas-Zahlen für negative Indizes nicht definiert. Beispiel: n gleich −3 scheitert an der Nichtnegativitätsanforderung und wird nicht berechnet. Halten Sie n innerhalb der unterstützten Grenze, damit die Probedivision von L(n) auch bei den größten erlaubten Indizes interaktiv bleibt. Senden Sie einen JSON-Körper mit einem einzigen Pflichtfeld n: eine ganze Zahl von null bis zweihundert einschließlich, akzeptiert als JSON-Zahl oder als Dezimalziffernkette mit optionalem führendem Pluszeichen. Brüche, Booleans, leere Zeichenketten, wissenschaftliche Notation und Werte außerhalb dieses Bereichs werden mit invalid_input abgelehnt, bevor irgendeine Lucas-Arithmetik läuft. Bei Erfolg spiegelt die Antwort n wider, liefert lucas als JSON-Zahl, wenn L(n) in eine sichere Ganzzahl passt, und sonst als Dezimalzeichenkette, meldet lucas_digits als Anzahl der Dezimalziffern des Absolutwerts und setzt is_prime nach deterministischer Probedivision mit Sechserschritt-Rad über BigInt. Beispiel: n gleich 5 ergibt lucas 11, lucas_digits 2 und is_prime true. Beispiel: n gleich 1 ergibt lucas 1 und is_prime false.
Wo ein Lucas-Primzahl-Prüfer in reale Arbeitsabläufe passt
Halten Sie n als nichtnegative ganze Zahl innerhalb des dokumentierten Maximums, behandeln Sie invalid_input als Client-Korrektur statt als erneuten Versuch, speichern Sie lucas und is_prime bei Bedarf als Audit-Spur, und Sie erhalten reproduzierbare Lucas-Primentscheidungen für LMS-Plugins, Notizbücher und Edge-Worker zu einem transparenten $0.002 auf dem API-Pfad.
Integrationsbeispiele
Hausaufgaben- und Wettbewerbskontrolle
Prüfen Sie Schülerlisten von Lucas-Zahlen und ob jedes L(n) prim ist; zeigen Sie den exakten Wert neben dem is_prime-Flag zur Bewertung.
Technische Fragen
Welche Eingaben werden akzeptiert?
Ganze Zahlen n von 0 bis 200. Negatives n, Brüche, Booleans und nichtnumerische Zeichenketten liefern invalid_input.
Was enthält die Antwort?
n, lucas (der Wert von L(n) als Zahl oder Dezimalzeichenkette), lucas_digits und is_prime (true nur wenn L(n) prim ist).
Was kostet der Lucas-Primzahl-Prüfer?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorab bezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.