Untere Wythoff-Folge

Die untere Wythoff-Folge entsteht, indem für jede positive ganze Zahl das Produkt mit dem Goldenen Schnitt abgerundet wird. Geben Sie eine ab eins gezählte Position n ein; dieser Rechner liefert das zugehörige Folgenglied ohne gerundete Dezimalnäherung des Goldenen Schnitts. Er eignet sich zur Prüfung ganzzahliger Folgen, zur Untersuchung komplementärer Beatty-Folgen, für Beispiele aus der kombinatorischen Spieltheorie und zur Erzeugung verlässlicher Testdaten. Jede Anfrage ist deterministisch: Dieselbe gültige Position ergibt stets dieselbe ganze Zahl.

Was die untere Wythoff-Folge beschreibt

Die untere Wythoff-Folge ordnet jeder positiven ganzen Zahl n den ganzzahligen Anteil von n multipliziert mit dem Goldenen Schnitt zu, der meist mit phi bezeichnet wird. Da phi ungefähr 1.618 beträgt, steigen die Folgenglieder stetig, jedoch nicht mit einer konstanten Differenz: Aufeinanderfolgende Werte unterscheiden sich um eins oder zwei. Die ersten Positionen ergeben daher 1, 3, 4, 6, 8 und so weiter.

Dieser Rechner zählt Positionen ab eins; n gleich eins liefert somit das erste Folgenglied und keinen Platzhalter an Position null. Diese Konvention entspricht der mathematischen Definition und ist beim Vergleich mit Referenztabellen wichtig. Die Bezeichnung untere grenzt die Folge von ihrer Partnerin, der oberen Wythoff-Folge, ab.

Gemeinsam bilden sie komplementäre Beatty-Folgen: Jede positive ganze Zahl kommt genau in einer der beiden Folgen vor, und keine Zahl wird wiederholt. Das Ergebnisobjekt enthält sowohl die angeforderte Position als auch die untere Wythoff-Zahl und lässt sich dadurch einfach in Tabellen, Programmen oder reproduzierbaren Berechnungsprotokollen speichern.

Wie das Folgenglied exakt berechnet wird

Eine direkte Implementierung könnte eine dezimale Näherung des Goldenen Schnitts speichern, mit n multiplizieren und anschließend abrunden. Für kleine Eingaben ist das bequem, doch nahe einer Ganzzahlgrenze oder bei großen Positionen kann die Gleitkommarundung problematisch werden. Diese Fähigkeit wertet stattdessen einen gleichwertigen ganzzahligen Ausdruck aus.

Sie berechnet die ganzzahlige Quadratwurzel aus fünf mal n zum Quadrat, kombiniert das Ergebnis mit n und dividiert ganzzahlig durch zwei. Weil die Quadratwurzel aus fünf irrational ist, bewahrt diese Umformung die erforderliche Abrundung für jede zulässige Eingabe exakt. Die Berechnung verwendet eine begrenzte Newton-Iteration mit ganzen Zahlen, enthält keine Zufallsentscheidungen und hängt weder von Netzwerkdiensten noch von Uhrzeit, Gebietsschema oder dezimaler Maschinenformatierung ab.

Eingaben müssen sichere JavaScript-Ganzzahlen zwischen eins und fünf Billiarden sein.

Das Ergebnis für Folgen und Spiele verwenden

Verwenden Sie den Rechner, wenn Sie ein einzelnes Folgenglied statt einer erzeugten Liste benötigen. Im Unterricht lassen sich etwa ausgewählte Positionen anfordern und ihre Abstände vergleichen; eine Testsuite kann eine Implementierung anhand stabiler Referenzpunkte prüfen. In der kombinatorischen Spieltheorie beschreiben untere und obere Wythoff-Paare die kalten Positionen in Wythoff Nim.

Ein exaktes Folgenglied hilft daher beim Aufbau oder bei der Prüfung einer Position, ohne sämtliche früheren Werte zu erzeugen. Auch Untersuchungen von Beatty-Partitionen sind möglich: Berechnen Sie ein unteres Folgenglied, vergleichen Sie es mit dem auf andere Weise ermittelten oberen Partner und beobachten Sie die Verteilung positiver ganzer Zahlen. Ungültige Positionen werden ausdrücklich abgelehnt.

Null, negative Werte, Brüche, nichtnumerischer Text und Zahlen oberhalb der Grenze werden weder gerundet noch umgewandelt. Beide Kanäle verwenden denselben reinen Löser.