Suite inférieure de Wythoff
Le dixième terme de la suite inférieure de Wythoff vaut 16, et la suite commence par 1, 3, 4, 6, 8. Indiquez un rang compté à partir de un pour obtenir ce terme exact sans calculer tous les précédents. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 10
- Nombre inférieur de Wythoff
- 16
La suite inférieure de Wythoff s’obtient en prenant la partie entière du produit de chaque entier positif par le nombre d’or. Indiquez une position n, comptée à partir de un, et ce calculateur renverra le terme correspondant sans approximation décimale arrondie du nombre d’or. Il sert à vérifier des suites entières, à étudier les suites de Beatty complémentaires, à préparer des exemples de jeux combinatoires et à créer des données de test fiables. Chaque requête est déterministe : une même position valide produit toujours le même entier.
Ce que représente la suite inférieure de Wythoff
La suite inférieure de Wythoff associe chaque entier positif n à la partie entière de n multiplié par le nombre d’or, généralement noté phi. Comme phi vaut environ 1.618, les termes augmentent régulièrement, mais avec un écart non constant : deux termes consécutifs diffèrent de un ou de deux. Les premières positions donnent donc 1, 3, 4, 6, 8, puis la suite continue.
Ce calculateur emploie une indexation à partir de un : n égal à un renvoie le premier terme, et non un emplacement d’indice zéro. Cette convention respecte la définition mathématique et devient essentielle lors d’une comparaison avec des tables de référence. Le qualificatif inférieure distingue cette suite de sa compagne, la suite supérieure de Wythoff.
Ensemble, elles constituent des suites de Beatty complémentaires : chaque entier positif apparaît dans une seule des deux et aucun entier n’est répété. L’objet renvoyé contient la position demandée et le nombre inférieur de Wythoff, ce qui facilite sa conservation dans une feuille de calcul, un programme ou un relevé reproductible.
Comment le terme est calculé exactement
Une implémentation directe pourrait mémoriser une approximation décimale du nombre d’or, la multiplier par n, puis appliquer la fonction plancher. Cette méthode convient aux petites entrées, mais l’arrondi en virgule flottante peut devenir gênant près d’une frontière entière ou pour de grandes positions. Cette capacité évalue plutôt une expression entière équivalente.
Elle calcule la racine carrée entière de cinq fois n au carré, combine le résultat avec n, puis divise par deux en arithmétique entière. Puisque la racine carrée de cinq est irrationnelle, cette transformation conserve exactement le plancher requis pour chaque entrée acceptée. Le calcul repose sur une itération de Newton bornée sur les entiers, sans choix aléatoire et sans dépendance au réseau, à l’horloge, aux paramètres régionaux ou au format décimal de la machine.
Les entrées doivent être des entiers JavaScript sûrs compris entre un et cinq quadrillions.
Utiliser le résultat dans les suites et les jeux
Utilisez ce calculateur lorsque vous recherchez un terme précis plutôt qu’une liste générée. Un cours peut demander certaines positions afin d’en comparer les écarts, tandis qu’une suite de tests peut confronter une implémentation à des repères stables. En théorie combinatoire des jeux, les couples inférieur et supérieur de Wythoff décrivent les positions froides du jeu de Wythoff ; un terme exact permet donc de construire ou de valider une position sans produire tous les termes précédents.
La fonction convient aussi aux expériences sur les partitions de Beatty : calculez un terme inférieur, comparez-le au terme supérieur correspondant obtenu par une autre méthode et observez la répartition des entiers positifs. Toute position invalide provoque une erreur explicite. Zéro, valeurs négatives, fractions, texte non numérique et entiers dépassant la limite sont refusés sans arrondi ni conversion.
Les deux canaux utilisent le même solveur pur.
Cas d’usage
Vérifier une implémentation de suite
Comparez certaines positions à des termes inférieurs exacts de Wythoff pour tester un générateur ou une bibliothèque mathématique.
Construire des exemples du jeu de Wythoff
Calculez la coordonnée inférieure servant à construire ou valider des positions froides du jeu de Wythoff.
Explorer les suites de Beatty complémentaires
Obtenez des termes inférieurs isolés pour des cours, démonstrations, exercices et expériences informatiques.
Questions fréquentes
Quelle formule cette capacité utilise-t-elle ?
Elle renvoie le plancher de n multiplié par le nombre d’or, évalué par une arithmétique entière équivalente afin d’éviter les erreurs d’arrondi décimal.
L’indexation commence-t-elle à zéro ou à un ?
Elle commence à un. Pour n égal à 1, le premier nombre inférieur de Wythoff renvoyé est 1.
Quel est le dixième nombre inférieur de Wythoff ?
Il vaut 16. Les rangs sont comptés à partir de un : demander le rang 10 donne directement le dixième terme de la suite, sans terme zéro de remplissage.
Quel lien unit la suite inférieure de Wythoff à la suite supérieure ?
Elles sont complémentaires : chaque entier positif apparaît dans exactement l'une des deux suites, et aucune ne répète un nombre. Ensemble, elles se partagent tous les entiers positifs.
À quoi sert la suite inférieure de Wythoff dans le Nim de Wythoff ?
Ses termes donnent la plus petite coordonnée des positions froides du Nim de Wythoff. Avec un seul terme exact, vous pouvez construire ou vérifier une telle position sans générer les précédentes.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower", {
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
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}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.wythoff_lower",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Comment le terme est calculé exactement
Cette limite garantit que la position et le terme renvoyé restent exactement représentables comme nombres JSON, sans perte silencieuse de précision.
Utiliser le résultat dans les suites et les jeux
Fournissez n sous forme d’entier, puis lisez lower_wythoff_number dans la réponse. Le navigateur convient aux contrôles ponctuels ; les appels automatisés coûtent $0.002 par requête.
Questions techniques
Que se passe-t-il si n est inférieur à un ?
La requête échoue avec une erreur invalid_input, car la position dans la suite doit être au moins 1.
n peut-il être une fraction ou une chaîne numérique ?
Non. L’entrée doit être un entier JSON ; les fractions et les chaînes sont refusées sans arrondi ni conversion.
Quel est le prix d’une requête API ?
Chaque requête API coûte $0.002. Le calculateur du navigateur exécute localement le même solveur déterministe.