Sequência inferior de Wythoff
O décimo termo da sequência inferior de Wythoff é 16, e a sequência começa 1, 3, 4, 6, 8. Informe uma posição contada a partir de um para obter esse termo exato sem calcular todos os anteriores. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 10
- Número inferior de Wythoff
- 16
A sequência inferior de Wythoff é formada tomando-se a parte inteira do produto de cada inteiro positivo pela razão áurea. Informe uma posição n, contada a partir de um, e esta calculadora retornará o termo correspondente sem usar uma aproximação decimal arredondada da razão áurea. Ela é útil para conferir sequências de inteiros, estudar sequências de Beatty complementares, montar exemplos de jogos combinatórios e criar dados de teste confiáveis. Cada solicitação é determinística: a mesma posição válida sempre produz o mesmo inteiro.
O que representa a sequência inferior de Wythoff
A sequência inferior de Wythoff associa cada inteiro positivo n à parte inteira de n multiplicado pela razão áurea, geralmente escrita como phi. Como phi é aproximadamente 1.618, os termos aumentam continuamente, mas não por uma diferença constante: a distância entre termos consecutivos é um ou dois. Assim, as primeiras posições produzem 1, 3, 4, 6, 8 e assim por diante.
Esta calculadora usa indexação iniciada em um; portanto, n igual a um retorna o primeiro termo, e não um marcador de índice zero. Essa convenção corresponde à definição matemática e é importante ao comparar resultados com tabelas de referência. A palavra inferior diferencia esta sequência de sua companheira, a sequência superior de Wythoff.
Juntas, elas formam sequências de Beatty complementares: todo inteiro positivo aparece em exatamente uma das duas, e nenhuma repete um inteiro. O objeto retornado inclui a posição solicitada e o número inferior de Wythoff, facilitando o uso em planilhas, programas ou registros reproduzíveis de cálculo.
Como o termo é calculado com exatidão
Uma implementação direta poderia armazenar uma aproximação decimal da razão áurea, multiplicá-la por n e aplicar a função piso. Isso é conveniente para entradas pequenas, mas o arredondamento de ponto flutuante pode causar dúvidas perto de um limite inteiro ou em posições grandes. Esta capacidade avalia uma expressão inteira equivalente.
Ela calcula a raiz quadrada inteira de cinco vezes n ao quadrado, combina esse resultado com n e divide por dois usando aritmética inteira. Como a raiz quadrada de cinco é irracional, a transformação preserva exatamente o piso necessário para toda entrada aceita. O cálculo usa uma iteração de Newton limitada sobre inteiros, não contém escolhas aleatórias e independe de rede, relógio, localidade ou formatação decimal da máquina.
As entradas devem ser inteiros seguros do JavaScript entre um e cinco quatrilhões.
Como usar o resultado em sequências e jogos
Use a calculadora quando você precisar de um termo específico, e não de uma lista gerada. Uma aula pode, por exemplo, pedir posições selecionadas e comparar suas diferenças, enquanto uma suíte de testes pode conferir uma implementação com pontos de referência estáveis. Na teoria combinatória dos jogos, pares inferiores e superiores de Wythoff descrevem posições frias no Wythoff Nim; por isso, um termo exato ajuda a construir ou validar uma posição sem gerar todas as anteriores.
A função também atende a experiências com partições de Beatty: calcule um termo inferior, compare-o com o termo superior correspondente obtido por outro método e observe como as sequências distribuem os inteiros positivos. Posições inválidas falham explicitamente. Zero, valores negativos, frações, texto não numérico e inteiros acima do limite documentado são rejeitados, sem arredondamento ou coerção.
Os dois canais usam o mesmo solucionador puro.
Casos de uso
Conferir uma implementação de sequência
Compare posições selecionadas com termos inferiores exatos de Wythoff ao testar um gerador ou uma biblioteca matemática.
Montar exemplos de Wythoff Nim
Calcule a coordenada inferior usada para construir ou validar posições frias no Wythoff Nim.
Explorar sequências de Beatty complementares
Obtenha termos inferiores individuais para aulas, provas, exercícios e experimentos computacionais.
Perguntas frequentes
Qual fórmula esta capacidade usa?
Ela retorna o piso de n vezes a razão áurea, calculado por aritmética inteira equivalente para evitar erros de arredondamento decimal.
A indexação começa em zero ou em um?
Começa em um. O valor n igual a 1 retorna o primeiro número inferior de Wythoff, que é 1.
Qual é o décimo número inferior de Wythoff?
É 16. As posições são contadas a partir de um, então pedir a posição 10 dá diretamente o décimo termo da sequência, sem nenhum termo zero de enchimento.
Qual a relação entre a sequência inferior de Wythoff e a superior?
Elas se complementam: todo inteiro positivo aparece em exatamente uma das duas sequências, e nenhuma repete um número. Juntas, dividem todos os inteiros positivos.
Para que serve a sequência inferior de Wythoff no Nim de Wythoff?
Seus termos dão a coordenada menor das posições frias do Nim de Wythoff. Com um único termo exato, você monta ou confere uma dessas posições sem gerar todas as anteriores.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 10
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.wythoff_lower",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como o termo é calculado com exatidão
Esse limite mantém tanto a posição informada quanto o termo retornado exatamente representáveis como números JSON, evitando valores aparentemente inteiros com perda silenciosa de precisão.
Como usar o resultado em sequências e jogos
Informe n como inteiro e leia lower_wythoff_number na resposta. O navegador é prático para consultas ocasionais, e chamadas automatizadas custam US$ 0,002 por solicitação.
Perguntas técnicas
O que acontece quando n é menor que um?
A solicitação falha com o erro invalid_input, pois a posição da sequência deve ser pelo menos 1.
n pode ser uma fração ou uma string numérica?
Não. A entrada deve ser um inteiro JSON; frações e strings são rejeitadas, sem arredondamento ou coerção.
Quanto custa uma solicitação de API?
Cada solicitação de API custa US$ 0,002. A calculadora do navegador executa localmente o mesmo solucionador determinístico.