Sucesión de Wythoff inferior
El décimo término de la sucesión de Wythoff inferior es 16, y la sucesión empieza 1, 3, 4, 6, 8. Indique una posición contada desde uno y obtendrá ese término exacto sin calcular todos los anteriores. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 10
- Número inferior de Wythoff
- 16
La sucesión de Wythoff inferior se forma tomando la parte entera del producto de cada entero positivo por la razón áurea. Introduzca una posición n, contada desde uno, y esta calculadora devolverá el término correspondiente sin recurrir a una aproximación decimal redondeada de dicha razón. Resulta útil para comprobar sucesiones enteras, estudiar sucesiones de Beatty complementarias, preparar ejemplos de juegos combinatorios y crear datos de prueba fiables. Cada solicitud es determinista: una misma posición válida siempre produce el mismo entero.
Qué representa la sucesión de Wythoff inferior
La sucesión de Wythoff inferior asocia cada entero positivo n con la parte entera de n multiplicado por la razón áurea, que suele escribirse como phi. Como phi vale aproximadamente 1.618, los términos crecen de forma continua, pero no con una diferencia constante: entre términos consecutivos hay uno o dos. Las primeras posiciones producen así 1, 3, 4, 6, 8 y así sucesivamente.
Esta calculadora utiliza índices desde uno, por lo que n igual a uno devuelve el primer término y no un marcador de posición cero. Esa convención coincide con la definición matemática y es importante al contrastar resultados con tablas de referencia. La palabra inferior distingue esta sucesión de su compañera, la sucesión de Wythoff superior.
Juntas forman sucesiones de Beatty complementarias: cada entero positivo aparece exactamente en una de las dos y ninguna repite un entero. El resultado incluye tanto la posición solicitada como el número de Wythoff inferior, para que pueda conservarlo fácilmente en una hoja de cálculo, un programa o un registro reproducible.
Cómo se calcula el término con exactitud
Una implementación directa podría guardar una aproximación decimal de la razón áurea, multiplicarla por n y aplicar la función suelo. Es una opción cómoda para entradas pequeñas, pero el redondeo de coma flotante puede resultar problemático cerca de un límite entero o con posiciones grandes. Esta capacidad evalúa en su lugar una expresión entera equivalente.
Calcula la raíz cuadrada entera de cinco por n al cuadrado, combina el resultado con n y divide entre dos mediante aritmética entera. Como la raíz cuadrada de cinco es irracional, la transformación conserva exactamente el suelo requerido para cada entrada admitida. El cálculo aplica una iteración de Newton acotada sobre enteros, sin decisiones aleatorias y sin depender de servicios de red, relojes, configuraciones regionales ni formatos decimales de la máquina.
Las entradas deben ser enteros seguros de JavaScript entre uno y cinco mil billones.
Cómo usar el resultado en sucesiones y juegos
Utilice la calculadora cuando necesite un término concreto y no una lista completa. Por ejemplo, una lección puede solicitar posiciones determinadas para comparar sus diferencias, y una batería de pruebas puede cotejar una implementación con puntos de referencia estables. En teoría combinatoria de juegos, las parejas de Wythoff inferior y superior describen posiciones frías de Wythoff Nim; por ello, un término exacto permite construir o validar una posición sin generar todas las anteriores.
También puede experimentar con particiones de Beatty: calcule un término inferior, compárelo con el término superior correspondiente obtenido por otro método y observe cómo ambas sucesiones distribuyen los enteros positivos. Las posiciones no válidas fallan de forma explícita. Se rechazan el cero, los valores negativos, las fracciones, el texto no numérico y los enteros que superen el límite documentado, sin redondearlos ni convertirlos.
Ambos canales usan el mismo solucionador puro.
Qué puede hacer con ella
Comprobar una implementación de sucesiones
Compare posiciones concretas con términos exactos de Wythoff inferior al probar un generador o una biblioteca matemática.
Crear ejemplos de Wythoff Nim
Calcule la coordenada inferior necesaria para construir o validar posiciones frías de Wythoff Nim.
Explorar sucesiones de Beatty complementarias
Obtenga términos inferiores individuales para clases, demostraciones, ejercicios y experimentos computacionales.
Preguntas frecuentes
¿Qué fórmula utiliza esta capacidad?
Devuelve el suelo de n por la razón áurea, evaluado mediante aritmética entera equivalente para evitar errores de redondeo decimal.
¿El índice comienza en cero o en uno?
Comienza en uno. Un valor n de 1 devuelve el primer número de Wythoff inferior, que es 1.
¿Cuál es el décimo número de Wythoff inferior?
Es 16. Las posiciones se cuentan desde uno, así que al pedir la posición 10 se obtiene directamente el décimo término de la sucesión, sin ningún término cero de relleno.
¿Qué relación tiene la sucesión de Wythoff inferior con la superior?
Se complementan: todo entero positivo aparece exactamente en una de las dos sucesiones y ninguna repite un número. Juntas reparten todos los enteros positivos.
¿Para qué sirve la sucesión de Wythoff inferior en el Nim de Wythoff?
Sus términos dan la coordenada menor de las posiciones frías del Nim de Wythoff. Con un solo término exacto puede construir o comprobar una de esas posiciones sin generar todas las anteriores.
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Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
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curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
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-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower", {
method: "POST",
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"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/wythoff-lower", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
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}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.wythoff_lower",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo se calcula el término con exactitud
El límite garantiza que la posición y el término devuelto puedan representarse exactamente como números JSON, sin pérdida silenciosa de precisión.
Cómo usar el resultado en sucesiones y juegos
Proporcione n como entero y consulte lower_wythoff_number en la respuesta. El navegador sirve para consultas ocasionales; las llamadas automatizadas cuestan $0.002 por solicitud.
Preguntas técnicas
¿Qué ocurre si n es menor que uno?
La solicitud falla con un error invalid_input porque la posición debe ser al menos 1.
¿Puede n ser una fracción o una cadena numérica?
No. Debe enviar un entero JSON; las fracciones y cadenas se rechazan sin redondearlas ni convertirlas.
¿Cuánto cuesta una solicitud de API?
Cada solicitud de API cuesta $0.002. La calculadora del navegador ejecuta localmente el mismo solucionador determinista.