Secuencia Q de Hofstadter
En la secuencia Q de Hofstadter el término 10 vale 6 y el 20 vale 12. Cada término nuevo mira hacia atrás a distancias que deciden los anteriores, y por eso crece de forma irregular; aquí obtiene cualquier término hasta el índice cien mil. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 10
- Q
- 6
- Recurrencia
- Q(1)=Q(2)=1; Q(n)=Q(n-Q(n-1))+Q(n-Q(n-2)) for n>2
La secuencia Q de Hofstadter es una célebre recurrencia meta-Fibonacci de Gödel, Escher, Bach: cada término consulta términos anteriores usando otros términos como desplazamientos. Con semillas Q de uno y Q de dos iguales a uno, la regla para todo índice mayor es Q de n igual a Q de n menos Q de n menos uno, más Q de n menos Q de n menos dos. La sucesión comienza uno, uno, dos, tres, tres, cuatro, cinco, cinco, seis, seis, y crece de forma irregular cerca de n entre dos en promedio.
Qué es la secuencia Q de Hofstadter y cómo funciona la recurrencia
Douglas Hofstadter introdujo la secuencia Q como una prima caótica de Fibonacci en la que los argumentos de las llamadas recursivas dependen de valores ya calculados y no de retardos fijos. Las semillas clásicas son Q de uno igual a uno y Q de dos igual a uno. Para todo entero n mayor que dos, la definición es Q de n igual a Q de n menos Q de n menos uno, más Q de n menos Q de n menos dos.
Al desplegar los primeros pasos se obtienen dos, tres, tres, cuatro, cinco, cinco, seis, seis, seis, ocho, ocho, ocho, diez, y así sucesivamente. A diferencia de Fibonacci, que siempre suma los dos predecesores inmediatos, Q usa esos predecesores como desplazamientos dentro de la propia sucesión, de modo que el crecimiento no es monótono en una forma cerrada simple y los términos oscilan en torno a una tendencia lineal. La secuencia figura como OEIS A005185 bajo la indexación basada en uno que se usa aquí.
Consejos prácticos, límites y dónde encaja la secuencia Q
Los estudiantes se encuentran con la secuencia Q de Hofstadter al estudiar definiciones recursivas que no son recurrencias lineales de coeficientes constantes, al comparar familias meta-Fibonacci y al explorar cómo una regla autorreferencial simple puede producir un comportamiento local irregular y seguir bien definida para todo entero positivo. Los docentes pueden generar claves de respuesta para hojas que piden Q de un n dado sin confiar en calculadoras opacas que ocultan las semillas.
Los desarrolladores usan el mismo contrato para validar datos de muestra de bibliotecas de teoría de números, sembrar pruebas de propiedades o precalcular términos esperados antes de una demostración. La práctica de concursos suele necesitar una fuente rápida sin conexión de valores Q para verificar soluciones sin descargar tablas OEIS bajo presión de tiempo.
No confunda el Q de uno basado en uno igual a uno con desplazamientos de tabla basados en cero de algunos ejemplos de código: compruebe siempre las semillas del campo recurrence antes de calificar frente a otro convenio.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de Q(n) en tareas y concursos
Calcule la Q de Hofstadter de n para hojas de trabajo y validadores de concurso sin tablas largas de recurrencia manual ni scripts improvisados.
Enseñanza de recurrencias meta-Fibonacci
Muestre a los estudiantes cómo una regla de desplazamiento autorreferencial difiere de Fibonacci mientras cambian n en vivo en el navegador sin costo.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta la calculadora de la secuencia Q de Hofstadter?
Es gratis en su navegador en esta página.
¿Qué ocurre si n está por debajo de 1?
La secuencia Q de Hofstadter se define aquí solo para enteros positivos n ≥ 1.
¿Cómo se calcula Q(n)?
Las semillas son Q(1)=Q(2)=1. Para cada k desde 3 hasta n el motor asigna Q(k)=Q(k−Q(k−1))+Q(k−Q(k−2)) con un arreglo entero de abajo arriba. El mismo n siempre produce el mismo q.
¿Cuáles son algunos valores conocidos?
Q(1)=1, Q(2)=1, Q(3)=2, Q(4)=3, Q(5)=3, Q(6)=4, Q(10)=6, Q(20)=12. La sucesión es OEIS A005185 bajo esta indexación basada en 1.
¿En qué se diferencia la secuencia Q de Fibonacci?
Fibonacci suma los dos términos anteriores. La secuencia Q usa esos dos términos como distancias para mirar hacia atrás y suma los términos que encuentra allí. Por eso crece de forma irregular, en promedio cerca de n/2.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/hofstadter-q \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/hofstadter-q", {
method: "POST",
headers: {
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"Content-Type": "application/json"
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/hofstadter-q", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/hofstadter-q", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 10
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.hofstadter_q",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Esta capacidad devuelve el valor Q exacto del n-ésimo término como JSON determinista—sin solver simbólico, sin conjetura en coma flotante, sin llamada de red—de modo que correctores de tareas, cruces con OEIS, validadores de concurso y demostraciones docentes ven el mismo entero puro en el ejecutor gratuito del navegador y en la vía API prepago a $0.002 por solicitud exitosa.
Qué es la secuencia Q de Hofstadter y cómo funciona la recurrencia
Los índices negativos y el cero quedan fuera de esta definición clásica: el manejador rechaza cualquier n por debajo de uno con invalid_input en lugar de inventar una extensión con signo. Cuando solo necesita un término, envíe el índice n; la respuesta repite n, el valor q igual a Q de n, una cadena de fórmula breve y un resumen de la recurrencia que documenta las semillas y la regla para que calificadores y estudiantes puedan recalcular a mano casos pequeños y contrastar la API línea a línea sin ambigüedad sobre el convenio de indexación.
Cómo llamar a la API y qué contiene la respuesta
Una respuesta exitosa incluye n como eco, q igual a Q de n, formula con la cadena Q de n igual a Q de n menos Q de n menos uno más Q de n menos Q de n menos dos, y recurrence documentando Q de uno igual a Q de dos igual a uno y la regla para n mayor que dos. Prefiera ejemplos de aula emparejados como n igual a uno que da uno, n igual a diez que da seis, n igual a veinte que da doce, y un n cero o negativo que muestra el rechazo duro. Envíe un cuerpo JSON con un único campo obligatorio n: un entero positivo de al menos uno y como máximo cien mil, el índice basado en uno del término Q que desea. Se aceptan los alias index, order y term con el mismo significado para que formularios, hojas de cálculo y cadenas de consulta reutilicen un solo contrato. La validación fallida—un n ausente, un no entero, una fracción, notación científica, un valor por encima del límite publicado o cualquier n por debajo de uno—devuelve invalid_input y nunca se cobra. El precio es un fijo de $0.002 por solicitud exitosa con unidad item.
Consejos prácticos, límites y dónde encaja la secuencia Q
En esta página el trabajo se ejecuta por completo en su navegador; a través de la API cada consulta exitosa cuesta $0.002, la validación fallida no se cobra y no se almacena nada tras devolver la respuesta. Limite n a cien mil para acotar memoria y tiempo del Worker; Q de n crece aproximadamente como n entre dos y permanece un entero seguro en ese rango. Combine esta página con Fibonacci, Padovan, Collatz y otras herramientas de sucesiones al armar un pequeño laboratorio recreativo de teoría de números con endpoints gratuitos y deterministas.
Casos de integración
Fixtures de prueba deterministas
Genere valores Q reproducibles para pruebas unitarias, comprobaciones de propiedades y aserciones de CI que fijan índices conocidos y términos esperados.
Preguntas técnicas
¿El algoritmo es aleatorio?
No. Usa únicamente aritmética entera determinista. No hay red, no hay Date y no hay Math.random.