Padovan-Rechner

Die Padovan-Folge ist eine Verwandte der Fibonacci-Folge, definiert durch eine Dreiterm-Rekursion mit Zweischritt-Verzögerung: jedes Glied ist die Summe des Glieds zwei Stellen zurück und des Glieds drei Stellen zurück. Mit den Standardsaaten P von null gleich P von eins gleich P von zwei gleich eins beginnt die Folge eins, eins, eins, zwei, zwei, drei, vier, fünf, sieben, neun, zwölf, sechzehn, einundzwanzig und wächst im Verhältnis der plastischen Zahl statt der goldenen Zahl.

Was hinter der Padovan-Folge steckt

Die Padovan-Folge ist eine Verwandte der Fibonacci-Folge mit einer anderen Regel. Sie beginnt mit drei Einsen, P(0), P(1) und P(2), und jedes weitere Glied ist die Summe der Glieder zwei und drei Stellen davor. So entstehen 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9 und schließlich 12 für den Index 10. Weil nur ganze Zahlen addiert werden, gibt es keine Rundung und kein Zufallselement. Das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder nähert sich der plastischen Zahl, der reellen Lösung von x³ = x + 1, etwa 1,3247.

Wofür man sie nutzt und typische Verwechslungen

Die Folge taucht in der Geometrie der plastischen Zahl auf, in Spiralmustern aus gleichseitigen Dreiecken und in Aufgaben aus Programmierwettbewerben, bei denen eine Lösung gegen exakte Glieder geprüft wird. Im Unterricht zeigt sie anschaulich, wie eine dreigliedrige Rekursion wächst. Häufige Fehler sind die Verwechslung mit Fibonacci, also die Summe der beiden letzten Glieder statt der Glieder zwei und drei Stellen zurück, und Tabellen mit anderen Startwerten. Prüfen Sie deshalb neben der Zahl immer auch die Startwerte.

Was die Padovan-Folge ist und wie die Rekursion funktioniert

Beginnen Sie mit drei Einsen: P von null, P von eins und P von zwei sind jeweils eins. Für jeden späteren Index ist die Regel fest und speicherlos jenseits der letzten drei Werte: P von n gleicht P von n minus zwei plus P von n minus drei. Einige Schritte abrollen liefert zwei, zwei, drei, vier, fünf, sieben, neun, zwölf, sechzehn, einundzwanzig, achtundzwanzig, siebenunddreißig, neunundvierzig und so weiter.

Dieselbe Rekursion erscheint in der Geometrie der plastischen Zahl, in bestimmten Spiralpflasterungen der Ebene mit gleichseitigen Dreiecken und in kombinatorischen Zählungen von Zusammensetzungen, die aufeinanderfolgende Teile der Länge eins unter bestimmten Codierungen vermeiden. Anders als Fibonacci, das die zwei vorangehenden Glieder summiert, überspringt Padovan einen Vorgänger und addiert den davor, sodass die charakteristische Gleichung x hoch drei gleich x plus eins ist und die dominante reelle Wurzel die plastische Konstante nahe eins Komma drei zwei vier sieben ist.

Weil jeder Schritt exakte Ganzzahladdition ist, gibt es keinen Rundungsfehler und keine Abhängigkeit von Wanduhrzeit oder Zufallssaaten. Wenn Sie nur ein einzelnes Glied brauchen, senden Sie den Index n; die Antwort spiegelt n, den Padovan-Wert, eine kurze Formelzeichenkette und die volle Rekursions-Saatbeschreibung wider, damit Bewertende und Lernende per Hand nachrechnen können.

Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen

Beim Bewerten assertieren Sie sowohl padovan als auch die formula-Felder, damit eine falsche Rekursion oder eine Fibonacci-Verwechslung leicht diagnostizierbar ist. Geschwister-Landings in diesem Kit decken andere figurierte und Serien-Absichten ab wie Dreieckszahlen, Polygonzahlen und arithmetische Reihensummen; diese Seite ist speziell für Personen, die einen Padovan-Folgenrechner oder die n-te Padovan-Zahl suchen.

Behandeln Sie die Ganzzahl nicht allein als Blackbox — koppeln Sie sie beim Lehren mit den dokumentierten Saaten, damit OEIS-A000931-artige alternative Anfangsbedingungen nicht mit der hier genutzten Konvention P von null gleich P von eins gleich P von zwei gleich eins verwechselt werden. Deckeln Sie n bei einhundertdreißig, damit jedes P von n eine sichere JavaScript-Ganzzahl bleibt; bei Bedarf größerer Glieder wechseln Sie zu Big-Integer-Werkzeugen außerhalb dieses freien Parse-Pfads.