Tetranacci-Zahl

Die Tetranacci-Folge ist die vierstufige Verwandte von Fibonacci und Tribonacci: jedes Glied ist die Summe der vier vorigen. Mit den üblichen Keimen T(0)=0, T(1)=0, T(2)=0 und T(3)=1 beginnt die Reihe 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108 und folgt derselben Vierersumme. Dieser Rechner nimmt eine einzige nichtnegative ganze Zahl n entgegen und liefert die exakte n-te Tetranacci-Zahl als Dezimalzeichenkette, sodass große Indizes exakt bleiben statt in einer Gleitkommamantisse zu runden.

Was eine Tetranacci-Zahl ist und wie sie sich von nahen Folgen unterscheidet

Eine Tetranacci-Zahl ist ein Glied der linearen Rekurrenz, die die vier vorigen Werte addiert statt zwei oder drei. Nach den vier Keimen T(0)=0, T(1)=0, T(2)=0 und T(3)=1 gehorcht jedes spätere Glied T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3) + T(n-4). Der Anfangsabschnitt ist daher 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648 — die als OEIS A000078 katalogisierte Konvention, die dieser Rechner verwendet.

Das ist nicht die tetraedrische Figuratzahlfolge Te_n = n(n+1)(n+2)/6, die gestapelte Dreieckszahlen zählt und eine andere Suche beantwortet. Es ist auch nicht die zweistufige Fibonacci-Rekurrenz und nicht die dreistufige Tribonacci-Rekurrenz: für jene Anfragen gibt es eigene Seiten. Das charakteristische Polynom dieser Viererschritt-Regel ist x^4 − x^3 − x^2 − x − 1 = 0.

Seine dominante reelle Wurzel, die Tetranacci-Konstante, beträgt etwa 1.92756, und das Verhältnis T(n+1)/T(n) nähert sich dieser Konstante, sodass die Glieder exponentiell wachsen, aber langsamer als eine reine Zweierpotenz. Kombinatorisch zählt T(n+3) die Zusammensetzungen von n, deren Teile in {1, 2, 3, 4} liegen, oder gleichwertig die Pflasterungen eines Streifens der Länge n mit Kacheln dieser Längen. Dieser Endpunkt liefert genau ein exaktes Glied als Dezimalzeichenkette, zusammen mit der Ziffernzahl und der Rekurrenzformel, kein Diagramm und keine erzeugende Funktion.

Wo ein Tetranacci-Rechner seinen Nutzen hat

Klassenzimmer und Wettkampftrainer nutzen einen Tetranacci-Rechner, damit Lernende die vierstufige Rekurrenz prüfen können, ohne von Hand eine rollende Summe zu bauen oder einer undurchsichtigen eingefügten Liste zu vertrauen. Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das ein negatives n ablehnt statt ein Glied zu erfinden, weil ein fehlerhafter Bewerter eine leere Erfolgslast als gültige Klassifikation behandeln könnte. Notizbücher, die Pflasterungszahlen oder Koeffizienten vierteiliger Zusammensetzungen brauchen, können den Vertrag einmal je Zelle aufrufen und die zurückgegebene Ziffernzahl für eine Prüfspalte behalten.

Unterhaltende Zahlentheorie-Seiten, die Fibonacci und Tribonacci bereits abdecken, können dieses vierstufige Geschwister hinzufügen, ohne ein Computeralgebrasystem aufzustellen. Kombinieren Sie dieses Werkzeug mit einem Fibonacci- oder Tribonacci-Rechner, wenn Sie die zwei- oder dreistufigen Verwandten wollen, und mit einem Tetraederzahl-Rechner, wenn die Suche gestapelte Dreiecke galt und nicht einer Viererschritt-Rekurrenz.