2x2-Gleichungssystem per Elimination exakt lösen

Dieser Rechner für das Eliminationsverfahren löst zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen, ohne exakte Werte durch gerundete Näherungen zu ersetzen. Geben Sie für jede Gleichung den x-Koeffizienten, den y-Koeffizienten und die Konstante ein. Der Rechner wählt eine zu beseitigende Variable, skaliert beide Gleichungen, addiert sie, löst die verbleibende Gleichung und setzt das Ergebnis zurück ein. So erhalten Sie den exakten Schnittpunkt. Ganze Zahlen, endliche Dezimalzahlen und Brüche werden unterstützt; dadurch eignet sich das Werkzeug für Hausaufgabenkontrollen, Musterlösungen und deterministische Abläufe.

Bringen Sie beide Gleichungen in die Standardform

Schreiben Sie jede Gleichung als Vielfaches von x plus Vielfaches von y gleich einer Konstanten: a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2. Tragen Sie anschließend diese sechs Werte in die passenden Felder ein. Verschieben Sie Variablenterme vor der Eingabe auf die linke und Konstanten auf die rechte Seite.

So ist 3x = 8 - 2y als 3x + 2y = 8 einzugeben. Der Rechner akzeptiert vorzeichenbehaftete ganze Zahlen wie -5, endliche Dezimalzahlen wie 0.125 und Brüche wie 7/9. Brüche benötigen ganzzahlige Zähler und einen ganzzahligen Nenner ungleich null.

Die explizite Standardform verhindert Vorzeichenfehler und macht jede Zeilenoperation sichtbar. Das Resultat bleibt exakt, weil die Eingaben in normalisierte rationale Zahlen und nicht in gerundete Dezimalschätzungen umgewandelt werden. Beschreiben beide Gleichungen parallele oder identische Geraden, ist ihre Determinante null und es gibt keinen einzelnen Schnittpunkt.

Dann erhalten Sie einen Eingabefehler statt eines willkürlich erfundenen Punkts. Jede erfolgreiche Antwort bezeichnet somit eindeutig den einzigen gemeinsamen Punkt beider Geraden.

Lesen Sie die Skalierungs- und Eliminationsschritte

Beim Eliminieren werden die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen gemacht. Der Rechner beseitigt normalerweise x, wenn beide x-Koeffizienten ungleich null sind. Er multipliziert die erste Gleichung mit dem x-Koeffizienten der zweiten und die zweite Gleichung mit dem negativen x-Koeffizienten der ersten.

Beim Addieren der skalierten Zeilen heben sich die x-Terme auf. Ist ein x-Koeffizient bereits null, wird dasselbe Verfahren auf y angewandt. Die Antwort nennt die eliminierte Variable und zeigt beide Multiplikatoren, die skalierten Gleichungen und ihre Summengleichung.

Sie können damit jeden Schritt auf Papier nachvollziehen und sämtliche Vorzeichen prüfen. Der verbleibende Koeffizient teilt die verbleibende Konstante und liefert eine Koordinate. Dieser Wert wird in eine ursprüngliche Gleichung eingesetzt, um die andere Koordinate zu erhalten.

Alle Koeffizienten erscheinen als gekürzte Brüche: 6/8 wird zu 3/4, ein Minuszeichen bleibt im Zähler und ganze Zahlen erscheinen ohne /1. Auch die Determinante wird als schnelle Eindeutigkeitsprüfung ausgegeben. Ist sie nicht null, bleibt nach der Addition ein nutzbarer Koeffizient übrig und die Rückeinsetzung liefert genau ein x und ein y.

Verwenden Sie den exakten Schnittpunkt zuverlässig

Das Objekt point enthält die Hauptantwort. Anwendungen mit rationaler Arithmetik können diese Texte direkt auswerten; Anwendungen mit Dezimalbedarf können Zähler und Nenner in der gewünschten Genauigkeit dividieren. Das Kennzeichen unique ist nur bei erfolgreichen Aufrufen wahr.

Die Validierung erkennt zudem fehlende Felder, ungültige Zahlen und Nullnenner, bevor gerechnet wird. Die Implementierung ist rein und deterministisch: Sie verwendet ganzzahlige Arithmetik fester Problemgröße, greift nicht auf das Netzwerk zu, liest keine Uhr und erzeugt keinen Zufall. Extrem lange Ziffernfolgen erzeugen entsprechend große exakte Ganzzahlen; verwenden Sie daher Koeffizienten üblicher schulischer und geschäftlicher Größenordnung.

Bei den vorgesehenen 2x2-Systemen verhindert rationale Elimination, dass Rundung verschleiert, ob der Punkt beide Ausgangsgleichungen wirklich erfüllt.