Sistema 2x2 por eliminação

Esta calculadora do método de eliminação para sistemas 2x2 resolve duas equações lineares com duas variáveis sem trocar valores exatos por aproximações arredondadas. Informe os coeficientes de x e y e a constante de cada equação. A calculadora escolhe uma variável para cancelar, multiplica as equações, soma as linhas, resolve a equação com uma variável e faz a substituição para devolver o ponto de interseção exato. São aceitos inteiros, decimais finitos e frações, o que facilita a conferência de exercícios, a criação de exemplos resolvidos e fluxos automatizados determinísticos.

Organize as duas equações na forma padrão

Escreva cada equação como um múltiplo de x mais um múltiplo de y igual a uma constante: a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2. Em seguida, informe esses seis valores nos campos correspondentes. Antes de preencher, leve os termos com variáveis para o lado esquerdo e as constantes para o direito.

Por exemplo, 3x = 8 - 2y deve ser informado como 3x + 2y = 8. A calculadora aceita inteiros com sinal, como -5, decimais finitos, como 0.125, e frações, como 7/9. As frações usam numeradores inteiros e denominadores inteiros diferentes de zero.

A forma padrão explícita elimina dúvidas de sinal e deixa cada operação de linha visível. O resultado é exato porque as entradas viram números racionais normalizados, e não estimativas decimais arredondadas. Se as duas equações descreverem retas paralelas ou coincidentes, o determinante será zero e não haverá um único ponto de interseção.

Nesse caso, a ferramenta gera um erro de entrada em vez de inventar um ponto. Assim, toda resposta bem-sucedida representa necessariamente o único ponto comum às duas retas.

Entenda as etapas de multiplicação e eliminação

A eliminação transforma os coeficientes de uma variável em valores opostos. Em geral, a calculadora cancela x quando os dois coeficientes de x são diferentes de zero. Ela multiplica a primeira equação pelo coeficiente de x da segunda e a segunda equação pelo oposto do coeficiente de x da primeira.

Ao somar as linhas multiplicadas, os termos em x resultam em zero. Se um coeficiente de x já for zero, a mesma construção é aplicada a y. A resposta informa a variável eliminada e apresenta os dois multiplicadores, as equações multiplicadas e a equação obtida pela soma.

Dessa forma, você pode repetir o cálculo no papel e conferir cada sinal. O coeficiente restante divide a constante restante para determinar uma coordenada. Esse valor é substituído em uma equação original para encontrar a outra coordenada.

Todos os coeficientes aparecem como frações reduzidas: 6/8 vira 3/4, o sinal negativo fica no numerador e números inteiros não exibem /1. O determinante também é retornado como uma verificação rápida de unicidade. Quando ele não é zero, a soma deixa um coeficiente utilizável e a substituição produz exatamente um x e um y.

Use a interseção exata com segurança

O objeto point contém a resposta principal. Sistemas com aritmética racional podem interpretar esses textos diretamente; sistemas que precisam de decimais podem dividir numerador por denominador na precisão desejada. O indicador unique só é verdadeiro em chamadas bem-sucedidas.

A validação também identifica campos ausentes, números inválidos ou denominadores iguais a zero antes de iniciar a álgebra. A implementação é pura e determinística: usa aritmética inteira de tamanho fixo, não acessa a rede, não consulta o relógio e não cria valores aleatórios. Sequências de dígitos enormes geram inteiros exatos igualmente grandes; portanto, mantenha os coeficientes em dimensões comuns de ensino e negócios.

Nos sistemas 2x2 pretendidos, a eliminação racional impede que arredondamentos escondam se o ponto realmente satisfaz as duas equações originais.