Sistema linear homogêneo 2x2
Digite os quatro coeficientes de duas equações igualadas a zero e obtenha todas as soluções: com 1, 2, 3 e 4 o determinante é −2, então só servem x e y iguais a zero. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 3
- D
- 4
- Determinante
- -2
- Tipo de solução
- trivial
Ela calcula o determinante ad − bc para decidir se a origem é a única solução ou se existe uma família paramétrica infinita. Quando as equações são dependentes, o resultado inclui um vetor diretor e expressões parametrizadas para x e y. Se todos os coeficientes forem zero, a ferramenta retorna corretamente o plano inteiro com dois parâmetros, sem perder soluções.
Informe as duas equações homogêneas
Não há campos para os lados direitos, pois um sistema homogêneo sempre tem zero nos dois lados direitos. Todos os coeficientes são obrigatórios, inclusive quando algum deles vale zero, porque omitir um valor é diferente de declarar que o termo está ausente. As entradas precisam ser números finitos de JavaScript; texto numérico, NaN, Infinity, arrays e objetos são rejeitados para evitar conversões implícitas.
O módulo de cada coeficiente é limitado a 1e150, mantendo os produtos do determinante no intervalo finito da aritmética de dupla precisão. Depois da validação, a calculadora avalia a matriz e retorna uma descrição completa do conjunto solução. Ela não acrescenta termos constantes nem resolve sistemas não homogêneos.
Caso suas equações tenham valores diferentes de zero no lado direito, use um solucionador geral de sistemas lineares, pois o teste de núcleo apresentado aqui trata de outro problema.
Entenda o teste do determinante e a família retornada
A matriz de coeficientes é [[a,b],[c,d]], e seu determinante é ad − bc. Um determinante diferente de zero indica que a matriz é invertível. Se o determinante for exatamente zero, as linhas são dependentes e o núcleo contém vetores não nulos.
Quando a primeira linha não é nula, a calculadora usa o vetor diretor (−b,a), porque a(−b) + b(a) é zero. Assim, toda solução tem a forma (x,y) = t(−b,a), com t podendo ser qualquer número real. Se a primeira linha for nula e a segunda não, aplica-se a mesma construção para obter (−d,c).
A resposta inclui o nome do parâmetro, expressões simbólicas e o vetor numérico, facilitando a leitura e o processamento automático. A matriz totalmente nula tem posto zero, e não um: ambas as equações viram 0 = 0, então x e y variam independentemente. Nesse caso, o retorno é x = s, y = t com a base canônica de dois vetores, preservando todo o plano de soluções.
Use o resultado com segurança em estudos e automações
A saída foi organizada para facilitar a conferência. Em uma família de um parâmetro, multiplique o vetor diretor por qualquer t real e substitua os componentes. Cada equação será cancelada.
Para a matriz inteiramente nula, escolha s e t de modo independente, pois nenhuma equação impõe restrição. O teste usa igualdade exata com zero: a calculadora não trata silenciosamente um determinante apenas pequeno como singular. Isso é adequado para exercícios com coeficientes exatos e testes determinísticos, mas dados medidos ou mal condicionados podem exigir um método de posto numérico com tolerância ajustada à escala.
O algoritmo não usa rede, aleatoriedade, horário atual nem estado oculto; entradas idênticas sempre geram saídas idênticas.
Casos de uso
Conferir um exercício de álgebra linear
Verifique se um sistema homogêneo de duas equações admite somente a origem ou infinitas soluções e compare a parametrização com seus cálculos.
Encontrar uma base do núcleo 2x2
Transforme uma matriz singular em um vetor diretor que gera seu núcleo unidimensional, incluindo a exceção de posto zero.
Gerar gabaritos determinísticos
Classifique lotes de pequenos sistemas homogêneos com saída estruturada e estável para listas, provas e rotinas de correção automática.
Perguntas frequentes
Quando existem soluções não triviais?
Elas existem exatamente quando ad − bc é zero. Nesse caso, a matriz de coeficientes é singular e seu núcleo contém vetores diferentes da origem.
O que significa o parâmetro t?
Ele pode ser qualquer número real. Variar t escala o vetor diretor retornado e gera todas as soluções de um sistema homogêneo de posto um.
O que acontece quando a, b, c e d são todos zero?
As equações não impõem restrições. A resposta usa dois parâmetros independentes, x = s e y = t, e retorna a base canônica do plano inteiro.
Um determinante muito pequeno é considerado zero?
Não. A classificação compara o número calculado exatamente com zero. Para dados medidos com ruído, use um método de posto numérico com tolerância adequada à escala.
Por que não há campo para o lado direito?
Em um sistema homogêneo os dois lados direitos valem sempre zero, então bastam os quatro coeficientes. Se suas equações tiverem outros valores à direita, use uma ferramenta geral para sistemas lineares.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.homogeneous_system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Esta calculadora resolve duas equações na forma ax + by = 0 e cx + dy = 0. O cálculo é determinístico, não usa serviços externos e fornece o mesmo resultado estruturado no navegador e pela API.
Informe as duas equações homogêneas
Escreva o sistema como ax + by = 0 e cx + dy = 0 e informe os quatro coeficientes reais a, b, c e d. Por exemplo, 2x + 4y = 0 e x + 2y = 0 correspondem a a = 2, b = 4, c = 1 e d = 2.
Entenda o teste do determinante e a família retornada
O único vetor levado ao vetor zero por uma matriz invertível é o próprio vetor zero; por isso, a resposta marca solution_type como trivial e apresenta x = 0 e y = 0.
Use o resultado com segurança em estudos e automações
Leia primeiro determinant e depois solution_type. Em um resultado trivial, substitua x = 0 e y = 0 nas duas equações; ambas se anulam, e a invertibilidade prova que não existe outro par. O valor t = 0 recupera a solução trivial, enquanto qualquer t não nulo produz uma solução não trivial. Você pode experimentar gratuitamente no navegador ou enviar um item pela API por US$ 0,002; dados malformados retornam invalid_input.
Perguntas técnicas
Por que um sistema homogêneo sempre tem a solução trivial?
Ao substituir x = 0 e y = 0, os dois lados esquerdos viram zero e coincidem com os lados direitos, independentemente dos coeficientes.