حاسبة نظام خطي متجانس 2x2
أدخلوا المعاملات الأربعة لمعادلتين طرفهما الأيمن صفر لتحصلوا على مجموعة الحلول كاملة: مع 1 و2 و3 و4 يكون المحدد −2، فلا يصلح إلا x وy مساويين للصفر. مجانًا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 3
- D
- 4
- المحدِّد
- -2
- نوع الحل
- trivial
وهي تحسب المحدد ad − bc لتقرر هل نقطة الأصل هي الحل الوحيد أم أن الحلول تشكل عائلة بارامترية غير منتهية. عندما تكون المعادلتان معتمدتين، تتضمن النتيجة متجه اتجاه وصيغًا بارامترية لكل من x وy. وإذا كانت المعاملات كلها صفرًا، تعرض الحاسبة المستوى الكامل بمعلمتين مستقلتين من دون إسقاط أي حلول.
أدخلوا المعادلتين المتجانستين
لا توجد حقول للطرفين الأيمنين لأنهما يساويان صفرًا دائمًا في النظام المتجانس. يجب تقديم كل معامل حتى إن كانت قيمته صفرًا، لأن إغفال القيمة يختلف عن التصريح بأن الحد غير موجود. ينبغي أن تكون المدخلات أعداد JavaScript منتهية؛ وتُرفض النصوص العددية وNaN وInfinity والمصفوفات والكائنات كي لا تعتمد النتيجة على تحويل ضمني.
لا يجوز أن تتجاوز القيمة المطلقة لأي معامل 1e150، وبذلك تبقى عمليات الضرب في المحدد ضمن المجال المنتهي للحساب مزدوج الدقة. بعد التحقق من القيم الأربع، تحلل الحاسبة المصفوفة وتعيد وصفًا كاملًا لمجموعة الحل. وهي لا تضيف حدًا ثابتًا ولا تحل نظامًا غير متجانس.
إذا كانت الأطراف اليمنى في معادلاتكم غير صفرية، فاستخدموا حاسبة عامة للأنظمة الخطية، لأن اختبار فضاء النواة هنا يعالج مسألة مختلفة.
افهموا اختبار المحدد والعائلة الناتجة
مصفوفة المعاملات هي [[a,b],[c,d]] ومحددها هو ad − bc. إذا لم يكن المحدد صفرًا كانت المصفوفة قابلة للعكس. إذا كان المحدد صفرًا تمامًا، كان الصفان معتمدين واحتوى فضاء النواة على متجهات غير صفرية.
عندما لا يكون الصف الأول صفريًا، تستخدم الحاسبة متجه الاتجاه (−b,a)، لأن a(−b) + b(a) يساوي صفرًا. ومن ثم يكون كل حل على الصورة (x,y) = t(−b,a)، حيث يمكن أن تكون t أي عدد حقيقي. وإذا كان الصف الأول صفريًا والثاني غير صفري، تطبق الحاسبة البناء نفسه وتستخدم (−d,c).
تتضمن الاستجابة اسم المعلمة والصيغ الرمزية ومتجه الاتجاه العددي، فتصلح للقراءة والمعالجة الآلية. أما المصفوفة الصفرية كلها فرتبتها صفر لا واحد؛ إذ تصبح المعادلتان 0 = 0 ويتغير x وy باستقلال. عندئذ تعرض الحاسبة x = s وy = t والأساس القياسي ذي المتجهين، وبذلك تحفظ مستوى الحل كاملًا ولا تختزله خطأ إلى خط واحد.
تحققوا من النتيجة في الدراسة والأتمتة
صُممت المخرجات لتسهيل التحقق المباشر. وفي العائلة ذات المعلمة الواحدة، اضربوا متجه الاتجاه في أي عدد حقيقي t ثم عوضوا بالمركبتين، فتتلاشى الحدود في كل معادلة. في حالة المصفوفة الصفرية، اختاروا s وt باستقلال لأن المعادلتين لا تفرضان أي قيد.
تقارن الحاسبة المحدد بالصفر مقارنة دقيقة، ولا تعامل قيمة صغيرة غير صفرية على أنها حالة شاذة من تلقاء نفسها. يلائم ذلك معاملات المسائل التعليمية والاختبارات الحتمية، لكن البيانات المقيسة ذات الضجيج أو السيئة التكييف قد تحتاج إلى طريقة عددية لحساب الرتبة بسماحية تناسب مقياس البيانات. لا تستخدم الخوارزمية شبكة أو عشوائية أو وقتًا حاليًا أو حالة خفية، لذلك تعطي المدخلات المتطابقة مخرجات متطابقة دائمًا.
حالات الاستخدام
مراجعة تمرين في الجبر الخطي
تحققوا هل يقبل نظام متجانس من معادلتين نقطة الأصل وحدها أم عددًا غير منته من الحلول، وقارنوا البارامترات بالحساب اليدوي.
إيجاد أساس فضاء النواة 2x2
حولوا مصفوفة شاذة إلى متجه اتجاه يولد فضاء نواتها الأحادي البعد، مع معالجة استثناء الرتبة الصفرية.
إنشاء إجابات حتمية
صنفوا دفعات من الأنظمة المتجانسة الصغيرة بمخرجات منظمة وثابتة لأوراق العمل والاختبارات والتصحيح الآلي.
الأسئلة الشائعة
متى توجد حلول غير صفرية؟
توجد بالضبط عندما يساوي ad − bc صفرًا. عندئذ تكون مصفوفة المعاملات شاذة ويحتوي فضاء نواتها على متجهات غير نقطة الأصل.
ماذا تمثل المعلمة t؟
يمكن أن تكون أي عدد حقيقي. يؤدي تغيير t إلى تكبير متجه الاتجاه أو تصغيره وتوليد جميع حلول النظام المتجانس ذي الرتبة واحد.
ماذا يحدث إذا كانت a وb وc وd كلها صفرًا؟
لا تفرض المعادلتان أي قيد. تستخدم الاستجابة معلمتين مستقلتين، x = s وy = t، وتعيد الأساس القياسي للمستوى كاملًا.
هل يُعد المحدد الصغير جدًا صفرًا؟
لا. يُقارن العدد المحسوب بالصفر مقارنة دقيقة. استخدموا للبيانات المقيسة ذات الضجيج طريقة رتبة عددية بسماحية تناسب المقياس.
لماذا لا توجد خانة للطرف الأيمن؟
في النظام المتجانس يكون الطرفان الأيمنان صفرًا دائمًا، لذا تكفي المعاملات الأربعة. وإذا كانت لمعادلاتكم قيم أخرى في الطرف الأيمن فاستخدموا أداة عامة لحل الأنظمة الخطية.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.homogeneous_system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تحل هذه الحاسبة معادلتين على الصورة ax + by = 0 وcx + dy = 0. الحساب حتمي ولا يستعين بخدمات خارجية، ويعطي النتيجة المنظمة نفسها في المتصفح وعبر API.
أدخلوا المعادلتين المتجانستين
اكتبوا النظام على الصورة ax + by = 0 وcx + dy = 0، ثم أدخلوا المعاملات الحقيقية الأربعة a وb وc وd. فمثلًا، تقابل المعادلتان 2x + 4y = 0 وx + 2y = 0 القيم a = 2 وb = 4 وc = 1 وd = 2.
افهموا اختبار المحدد والعائلة الناتجة
والمتجه الوحيد الذي تحوله مصفوفة قابلة للعكس إلى المتجه الصفري هو المتجه الصفري نفسه؛ لذلك تعرض النتيجة solution_type بالقيمة trivial وتعطي x = 0 وy = 0.
تحققوا من النتيجة في الدراسة والأتمتة
اقرأوا determinant أولًا ثم solution_type. في النتيجة الصفرية، عوضوا x = 0 وy = 0 في المعادلتين؛ فيصبح الطرفان صفرًا، وتثبت قابلية العكس عدم وجود زوج آخر. تعيد t = 0 الحل الصفري، بينما تعطي أي قيمة غير صفرية حلًا غير صفري. يمكنكم تجربتها مجانًا في المتصفح أو إرسال عنصر عبر API مقابل $0.002؛ والمدخلات غير الصحيحة تعيد invalid_input.
أسئلة تقنية
لماذا يملك النظام المتجانس حلًا صفريًا دائمًا؟
عند تعويض x = 0 وy = 0 يصبح الطرفان الأيسران صفرًا ويطابقان الطرفين الأيمنين مهما كانت المعاملات.