Calculadora de sistemas homogéneos 2x2
Escriba los cuatro coeficientes de dos ecuaciones igualadas a cero y obtenga todas sus soluciones: con 1, 2, 3 y 4 el determinante es −2, así que solo sirven x e y iguales a cero. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 3
- D
- 4
- Determinante
- -2
- Tipo de solución
- trivial
Calcula el determinante ad − bc para decidir si el origen es la única solución o si existe una familia paramétrica infinita. Cuando las ecuaciones son dependientes, el resultado incluye un vector director y expresiones parametrizadas para x e y. Si todos los coeficientes son cero, devuelve correctamente todo el plano con dos parámetros, sin perder soluciones.
Introduzca las dos ecuaciones homogéneas
No es necesario indicar los miembros derechos porque, por definición, un sistema homogéneo siempre tiene cero en ambos. Todos los coeficientes son obligatorios, incluso cuando alguno vale cero: omitirlo no equivale a declarar que el término no aparece. Las entradas deben ser números finitos de JavaScript; se rechazan texto numérico, NaN, Infinity, matrices y objetos para impedir conversiones implícitas.
El valor absoluto de cada coeficiente no puede superar 1e150, de modo que los productos del determinante permanezcan dentro del intervalo finito de la aritmética de doble precisión. Tras validar los cuatro valores, la calculadora analiza la matriz y devuelve una descripción completa del conjunto solución. No añade términos independientes ni resuelve sistemas no homogéneos.
Si sus ecuaciones tienen miembros derechos distintos de cero, utilice una calculadora general de sistemas lineales, pues este análisis del núcleo responde a otro problema.
Interprete el determinante y la familia obtenida
La matriz de coeficientes es [[a,b],[c,d]] y su determinante es ad − bc. Si este valor no es cero, la matriz es invertible. Si el determinante es exactamente cero, las filas son dependientes y el núcleo contiene vectores no nulos.
Cuando la primera fila no es nula, se usa el vector director (−b,a), ya que a(−b) + b(a) es cero. Por tanto, toda solución adopta la forma (x,y) = t(−b,a), con t real arbitrario. Si la primera fila es nula pero la segunda no, se aplica la misma construcción y se obtiene (−d,c).
La respuesta aporta el nombre del parámetro, expresiones simbólicas y el vector numérico, útiles tanto para leer como para automatizar. La matriz completamente nula tiene rango cero, no uno: las dos ecuaciones se reducen a 0 = 0 y x e y varían de manera independiente. En ese caso se devuelve x = s, y = t y la base canónica de dos vectores, preservando todo el plano solución.
Compruebe el resultado en ejercicios y procesos automáticos
La salida facilita una comprobación directa. En una familia de un parámetro, multiplique el vector director por cualquier t real y sustituya sus componentes; los términos se cancelarán en cada ecuación. Para la matriz nula, elija s y t independientemente porque ninguna ecuación impone restricciones.
La clasificación compara el determinante con cero de forma exacta; no convierte silenciosamente un valor pequeño pero distinto de cero en una singularidad. Esto resulta apropiado para datos didácticos y pruebas deterministas, aunque las mediciones ruidosas o matrices mal condicionadas requieren un método de rango numérico con una tolerancia adecuada a su escala. El algoritmo no usa red, azar, hora actual ni estado oculto, por lo que una misma entrada siempre produce igual salida.
Qué puede hacer con ella
Verificar un ejercicio de álgebra lineal
Compruebe si un sistema homogéneo de dos ecuaciones solo admite el origen o infinitas soluciones y contraste la parametrización con su cálculo manual.
Hallar una base del núcleo 2x2
Convierta una matriz singular en un vector director que genere su núcleo unidimensional, sin olvidar la excepción de rango cero.
Crear respuestas deterministas
Clasifique lotes de pequeños sistemas homogéneos con una salida estructurada y estable para hojas de ejercicios, pruebas y corrección automática.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo existen soluciones no triviales?
Existen exactamente cuando ad − bc es cero. La matriz de coeficientes es entonces singular y su núcleo contiene vectores distintos del origen.
¿Qué representa el parámetro t?
Puede ser cualquier número real. Al variarlo se escala el vector director devuelto y se generan todas las soluciones de un sistema homogéneo de rango uno.
¿Qué ocurre si a, b, c y d son todos cero?
Ninguna ecuación impone restricciones. La respuesta utiliza dos parámetros independientes, x = s e y = t, y devuelve la base canónica del plano.
¿Un determinante muy pequeño se considera cero?
No. La clasificación compara exactamente el número calculado con cero. Para datos medidos con ruido, utilice un método de rango numérico con tolerancia relativa a la escala.
¿Por qué no hay casilla para el término de la derecha?
En un sistema homogéneo los dos lados derechos valen siempre cero, así que solo hacen falta los cuatro coeficientes. Si sus ecuaciones tienen otros valores a la derecha, use un resolvedor de sistemas lineales general.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.homogeneous_system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Esta calculadora resuelve dos ecuaciones de la forma ax + by = 0 y cx + dy = 0. El cálculo es determinista, no depende de servicios externos y produce el mismo resultado estructurado en el navegador y mediante la API.
Introduzca las dos ecuaciones homogéneas
Escriba el sistema como ax + by = 0 y cx + dy = 0 e introduzca los cuatro coeficientes reales a, b, c y d. Por ejemplo, 2x + 4y = 0 y x + 2y = 0 corresponden a a = 2, b = 4, c = 1 y d = 2.
Interprete el determinante y la familia obtenida
El único vector que una matriz invertible transforma en el vector cero es el propio vector cero; por eso el resultado marca solution_type como trivial y devuelve x = 0, y = 0.
Compruebe el resultado en ejercicios y procesos automáticos
Consulte primero determinant y después solution_type. Ante una solución trivial, sustituya x = 0 e y = 0 en las ecuaciones: ambas igualdades se cumplen, y la invertibilidad demuestra que no hay otro par. Con t = 0 recuperará la solución trivial y con cualquier t no nulo obtendrá una solución no trivial. Puede usarlo gratis en el navegador o enviar un elemento por API por $0.002; los datos incorrectos devuelven invalid_input.
Preguntas técnicas
¿Por qué un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial?
Al sustituir x = 0 e y = 0, ambos miembros izquierdos valen cero y coinciden con los miembros derechos, cualesquiera que sean los coeficientes.