Sistema lineare omogeneo 2x2
Inserisca i quattro coefficienti di due equazioni uguagliate a zero e ottenga tutte le soluzioni: con 1, 2, 3 e 4 il determinante è −2, quindi vanno bene solo x e y nulli. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 3
- D
- 4
- Determinante
- -2
- Tipo di soluzione
- trivial
Calcola il determinante ad − bc per stabilire se l’origine è l’unica soluzione oppure se esiste una famiglia parametrica infinita. Quando le equazioni sono dipendenti, il risultato comprende un vettore direzione ed espressioni parametriche per x e y. Se tutti i coefficienti sono zero, restituisce correttamente l’intero piano con due parametri, senza perdere soluzioni.
Inserisca le due equazioni omogenee
Non occorrono campi per i membri destri, perché in un sistema omogeneo sono sempre entrambi zero. Ogni coefficiente è obbligatorio, anche quando vale zero: omettere un valore non equivale a dichiarare assente il termine. Gli input devono essere numeri JavaScript finiti; testo numerico, NaN, Infinity, array e oggetti vengono rifiutati per evitare conversioni implicite.
Il valore assoluto di ciascun coefficiente è limitato a 1e150, così i prodotti del determinante restano nell’intervallo finito dell’aritmetica a doppia precisione. Dopo la validazione, il calcolatore esamina la matrice e restituisce una descrizione completa dell’insieme delle soluzioni. Non aggiunge termini noti e non risolve sistemi non omogenei.
Se le Sue equazioni hanno membri destri diversi da zero, utilizzi un risolutore generale di sistemi lineari, perché la verifica del nucleo qui descritta affronta un problema differente.
Interpreti il determinante e la famiglia restituita
La matrice dei coefficienti è [[a,b],[c,d]] e il determinante è ad − bc. Un determinante diverso da zero indica che la matrice è invertibile. Se il determinante è esattamente zero, le righe sono dipendenti e il nucleo contiene vettori non nulli.
Quando la prima riga non è nulla, il calcolatore usa il vettore direzione (−b,a), poiché a(−b) + b(a) è zero. Ogni soluzione è dunque (x,y) = t(−b,a), con t reale arbitrario. Se la prima riga è nulla ma la seconda non lo è, la stessa costruzione produce (−d,c).
La risposta contiene il nome del parametro, le espressioni simboliche e il vettore numerico, risultando adatta sia alla lettura sia all’elaborazione automatica. La matrice interamente nulla ha rango zero: entrambe le equazioni diventano 0 = 0 e x, y variano indipendentemente. In quel caso il risultato riporta x = s, y = t e la base canonica a due vettori, preservando l’intero piano delle soluzioni.
Verifichi il risultato nello studio e nell’automazione
L’output è pensato per una verifica immediata. Per una famiglia a un parametro, moltiplichi il vettore direzione per un qualunque t reale e sostituisca le componenti; ogni equazione si annulla. Per la matrice nulla, scelga s e t indipendentemente, perché nessuna equazione impone vincoli.
Il determinante viene confrontato esattamente con zero: il calcolatore non considera singolare un valore soltanto piccolo ma non nullo. Questa scelta è adatta a coefficienti didattici e test deterministici, mentre dati misurati o mal condizionati possono richiedere un metodo di rango numerico con una tolleranza commisurata alla scala. L’algoritmo non utilizza rete, casualità, ora corrente o stato nascosto, quindi input identici producono sempre output identici.
Casi d'uso
Verificare un esercizio di algebra lineare
Stabilisca se un sistema omogeneo di due equazioni ammette soltanto l’origine o infinite soluzioni e confronti la parametrizzazione con i calcoli manuali.
Trovare una base del nucleo 2x2
Trasformi una matrice singolare in un vettore direzione che genera il nucleo unidimensionale, includendo l’eccezione di rango zero.
Creare soluzioni deterministiche
Classifichi serie di piccoli sistemi omogenei con un output strutturato e stabile per esercizi, verifiche e correzione automatica.
Domande frequenti
Quando esistono soluzioni non banali?
Esistono esattamente quando ad − bc è zero. La matrice dei coefficienti è allora singolare e il suo nucleo contiene vettori diversi dall’origine.
Che cosa rappresenta il parametro t?
Può assumere qualsiasi valore reale. Variando t si scala il vettore direzione restituito e si generano tutte le soluzioni di un sistema omogeneo di rango uno.
Che cosa accade se a, b, c e d sono tutti zero?
Le equazioni non impongono vincoli. La risposta usa due parametri indipendenti, x = s e y = t, e restituisce la base canonica dell’intero piano.
Un determinante molto piccolo viene considerato zero?
No. Il numero calcolato viene confrontato esattamente con zero. Per dati misurati e rumorosi, utilizzi un metodo di rango numerico con una tolleranza adeguata alla scala.
Perché non c’è una casella per il termine a destra?
In un sistema omogeneo entrambi i membri di destra valgono sempre zero, quindi bastano i quattro coefficienti. Se le sue equazioni hanno altri valori a destra, usi uno strumento generale per sistemi lineari.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.homogeneous_system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Questo calcolatore risolve due equazioni nella forma ax + by = 0 e cx + dy = 0. Il calcolo è deterministico, non usa servizi esterni e produce lo stesso risultato strutturato nel browser e tramite API.
Inserisca le due equazioni omogenee
Scriva il sistema come ax + by = 0 e cx + dy = 0, quindi inserisca i quattro coefficienti reali a, b, c e d. Per esempio, 2x + 4y = 0 e x + 2y = 0 corrispondono ad a = 2, b = 4, c = 1 e d = 2.
Interpreti il determinante e la famiglia restituita
L’unico vettore trasformato nel vettore nullo da una matrice invertibile è il vettore nullo stesso; pertanto la risposta indica solution_type come trivial e fornisce x = 0, y = 0.
Verifichi il risultato nello studio e nell’automazione
Legga prima determinant e poi solution_type. Per un risultato banale, sostituisca x = 0 e y = 0 nelle equazioni: entrambe sono soddisfatte e l’invertibilità dimostra che non esistono altre coppie. Con t = 0 ritrova la soluzione banale, mentre ogni t non nullo genera una soluzione non banale. Può provarlo gratuitamente nel browser oppure inviare un elemento tramite API al costo di $0.002; un input errato restituisce invalid_input.
Domande tecniche
Perché un sistema omogeneo possiede sempre la soluzione banale?
Sostituendo x = 0 e y = 0, entrambi i membri sinistri diventano zero e coincidono con quelli destri, qualunque siano i coefficienti.