Homogenes lineares 2x2-System
Geben Sie die vier Koeffizienten zweier Gleichungen mit null auf der rechten Seite ein und erhalten Sie die gesamte Lösungsmenge: Bei 1, 2, 3 und 4 ist die Determinante −2, also passen nur x und y gleich null. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 3
- D
- 4
- Determinante
- -2
- Lösungstyp
- trivial
Anhand der Determinante ad − bc entscheidet er, ob der Ursprung die einzige Lösung ist oder unendlich viele Lösungen eine Parameterfamilie bilden. Bei abhängigen Gleichungen enthält das Ergebnis einen Richtungsvektor und parametrisierte Ausdrücke für x und y. Sind sämtliche Koeffizienten null, gibt der Rechner korrekt die gesamte Ebene mit zwei Parametern aus.
Was ein homogenes System ausmacht
Ein homogenes lineares System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten hat auf beiden rechten Seiten null. Das Paar aus x und y gleich null erfüllt es deshalb immer. Die eigentliche Frage ist, ob es weitere Lösungen gibt. Die Antwort liefert die Determinante ad − bc der Koeffizientenmatrix: Ist sie ungleich null, ist die Matrix invertierbar und die Nulllösung die einzige. Bei den Koeffizienten 1, 2, 3 und 4 beträgt die Determinante −2, und es bleibt bei dieser einen Lösung.
Unendlich viele Lösungen und typische Fehler
Ist die Determinante genau null, sind die Gleichungen voneinander abhängig. Dann liegen unendlich viele Lösungen auf einer Geraden durch den Ursprung, und das Ergebnis beschreibt sie mit einem Richtungsvektor und einem Parameter t. Sind alle vier Koeffizienten null, löst jedes Paar das System, also die ganze Ebene. Ein häufiger Fehler ist, ein System mit Werten ungleich null auf der rechten Seite hier einzugeben; dafür ist ein allgemeiner Löser gedacht.
Geben Sie die beiden homogenen Gleichungen ein
Für die rechten Seiten sind keine Eingabefelder nötig, da sie in einem homogenen System stets null sind. Jeder Koeffizient ist erforderlich, auch wenn sein Wert null lautet; ein fehlender Wert ist nicht dasselbe wie ein ausdrücklich nicht vorhandener Term. Eingaben müssen endliche JavaScript-Zahlen sein.
Zahlentext, NaN, Infinity, Arrays und Objekte werden abgewiesen, damit keine implizite Umwandlung das Resultat beeinflusst. Der Betrag jedes Koeffizienten ist auf 1e150 begrenzt, sodass die Produkte der Determinante im endlichen Bereich der doppelten Gleitkommagenauigkeit bleiben. Nach der Prüfung wertet der Rechner die Matrix aus und beschreibt die Lösungsmenge vollständig.
Er ergänzt keine Konstanten und löst keine inhomogenen Systeme. Haben Ihre Gleichungen rechts Werte ungleich null, verwenden Sie einen allgemeinen Gleichungssystem-Rechner, denn die hier untersuchte Nullraumfrage ist eine andere Aufgabe.
Deuten Sie Determinante und Parameterfamilie
Die Koeffizientenmatrix lautet [[a,b],[c,d]], ihre Determinante ist ad − bc. Ist diese Zahl ungleich null, ist die Matrix invertierbar. Nur der Nullvektor wird von einer invertierbaren Matrix auf den Nullvektor abgebildet.
Ist die Determinante exakt null, sind die Zeilen abhängig und der Nullraum enthält Vektoren ungleich null. Bei einer von null verschiedenen ersten Zeile verwendet der Rechner den Richtungsvektor (−b,a), denn a(−b) + b(a) ergibt null. Somit ist jede Lösung (x,y) = t(−b,a), wobei t jede reelle Zahl sein darf.
Ist die erste Zeile null, die zweite jedoch nicht, liefert dieselbe Konstruktion (−d,c). Die Antwort umfasst Parameternamen, symbolische Ausdrücke und den numerischen Richtungsvektor und eignet sich daher zum Lesen wie zur Weiterverarbeitung. Die vollständige Nullmatrix besitzt Rang null: Beide Gleichungen werden zu 0 = 0 und x sowie y sind unabhängig.
In diesem Fall erscheinen x = s und y = t samt zweivektoriger Standardbasis, sodass die ganze Lösungsebene erhalten bleibt.
Prüfen Sie das Ergebnis beim Lernen und Automatisieren
Die Ausgabe lässt sich unmittelbar kontrollieren. Beide Seiten werden null, und die Invertierbarkeit beweist, dass kein anderes Paar möglich ist. Bei einer einparametrigen Familie multiplizieren Sie den Richtungsvektor mit einer beliebigen reellen Zahl t und setzen die Komponenten ein; beide Gleichungen heben sich auf.
Bei der Nullmatrix wählen Sie s und t unabhängig, weil keine Gleichung eine Bedingung stellt. Die Determinante wird exakt mit null verglichen; eine kleine, aber von null verschiedene Zahl gilt nicht stillschweigend als singulär. Dieses Verhalten eignet sich für Lehrbuchkoeffizienten und deterministische Tests.
Verrauschte Messwerte oder schlecht konditionierte Daten können dagegen ein numerisches Rangverfahren mit maßstabsbezogener Toleranz erfordern. Der Algorithmus verwendet weder Netzwerk noch Zufall, aktuelle Uhrzeit oder verborgenen Zustand, sodass gleiche Eingaben stets gleiche Ausgaben liefern.
Anwendungsfälle
Eine Aufgabe zur linearen Algebra prüfen
Stellen Sie fest, ob ein homogenes System mit zwei Gleichungen nur den Ursprung oder unendlich viele Lösungen besitzt, und vergleichen Sie die Parametrisierung mit Ihrer Rechnung.
Eine Basis des 2x2-Nullraums bestimmen
Gewinnen Sie aus einer singulären Matrix einen Richtungsvektor für ihren eindimensionalen Nullraum und berücksichtigen Sie dabei den Sonderfall Rang null.
Deterministische Lösungsblätter erzeugen
Klassifizieren Sie Folgen kleiner homogener Systeme mit stabiler strukturierter Ausgabe für Arbeitsblätter, Prüfungen und automatische Tests.
Häufige Fragen
Wann gibt es nichttriviale Lösungen?
Genau dann, wenn ad − bc null ist. Die Koeffizientenmatrix ist dann singulär und ihr Nullraum enthält Vektoren außerhalb des Ursprungs.
Was bedeutet der Parameter t?
Er darf jede reelle Zahl annehmen. Durch Variation von t wird der ausgegebene Richtungsvektor skaliert und jede Lösung eines homogenen Systems vom Rang eins erzeugt.
Was geschieht, wenn a, b, c und d sämtlich null sind?
Keine Gleichung schränkt die Variablen ein. Die Antwort nutzt die unabhängigen Parameter x = s und y = t und gibt die Standardbasis der gesamten Ebene zurück.
Gilt eine sehr kleine Determinante als null?
Nein. Die berechnete Zahl wird exakt mit null verglichen. Verwenden Sie für verrauschte Messdaten ein numerisches Rangverfahren mit einer zur Skala passenden Toleranz.
Warum gibt es kein Feld für die rechte Seite?
In einem homogenen System sind beide rechten Seiten immer null, deshalb genügen die vier Koeffizienten. Stehen in Ihren Gleichungen rechts andere Werte, nutzen Sie einen allgemeinen Löser für lineare Gleichungssysteme.
Was bedeutet die Lösung, bei der x und y null sind?
Das ist die triviale Lösung, die jedes homogene System hat. Ist die Determinante wie im Beispiel −2 ungleich null, ist sie zugleich die einzige Lösung.
Warum muss ich auch Koeffizienten eingeben, die null sind?
Jeder Koeffizient ist nötig, auch eine Null. Einen Wert wegzulassen ist etwas anderes, als ausdrücklich anzugeben, dass das zugehörige Glied fehlt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.homogeneous_system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dieser Rechner löst zwei Gleichungen der Form ax + by = 0 und cx + dy = 0. Die Berechnung ist deterministisch, benötigt keine externen Dienste und liefert im Browser sowie über die API dasselbe strukturierte Ergebnis.
Geben Sie die beiden homogenen Gleichungen ein
Schreiben Sie das System als ax + by = 0 und cx + dy = 0 und geben Sie die vier reellen Koeffizienten a, b, c und d ein. Beispielsweise entsprechen 2x + 4y = 0 und x + 2y = 0 den Werten a = 2, b = 4, c = 1 und d = 2.
Deuten Sie Determinante und Parameterfamilie
Deshalb meldet die Ausgabe solution_type als trivial und setzt x = 0 sowie y = 0.
Prüfen Sie das Ergebnis beim Lernen und Automatisieren
Lesen Sie zuerst determinant und anschließend solution_type. Bei einem trivialen Ergebnis setzen Sie x = 0 und y = 0 in beide Gleichungen ein. Mit t = 0 erhalten Sie die triviale Lösung, mit jedem t ungleich null eine nichttriviale. Im Browser ist die Nutzung kostenlos; ein erfolgreicher API-Aufruf kostet pro Element $0.002, fehlerhafte Eingaben liefern invalid_input.
Technische Fragen
Warum hat ein homogenes System immer die triviale Lösung?
Setzen Sie x = 0 und y = 0 ein, werden beide linken Seiten unabhängig von den Koeffizienten null und stimmen mit den rechten Seiten überein.