2x2斉次連立方程式計算機
右辺が0の2本の方程式の係数を4つ入力すると、解の全体が分かります。係数が1、2、3、4なら行列式は −2 で、x と y がともに0の解しかありません。ブラウザで無料で使えます。
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- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 3
- D
- 4
- 行列式
- -2
- 解の種類
- trivial
行列式ad − bcを計算し、原点だけが解になるのか、無限個の解からなるパラメータ族が存在するのかを判定します。方程式が従属している場合は、方向ベクトルとx、yのパラメータ表示を返します。すべての係数がゼロなら、解を失うことなく2個のパラメータで平面全体を正しく表します。
2本の斉次方程式を入力します
斉次系では右辺が必ず両方ともゼロになるため、右辺の入力欄はありません。値がゼロの係数も含め、すべての係数を指定する必要があります。値の省略と、その項が存在しないことをゼロで明示することは異なります。
入力できるのは有限のJavaScript数値だけです。暗黙の型変換で結果が変わらないように、数値を表す文字列、NaN、Infinity、配列、オブジェクトは拒否されます。各係数の絶対値は1e150以下に制限され、行列式の乗算が倍精度浮動小数点数の有限範囲に収まるようになっています。
4個の値を検証した後、係数行列を評価して解集合を完全に記述します。定数項を追加したり、非斉次系を解いたりはしません。右辺がゼロでない方程式には一般の連立方程式ソルバーをご利用ください。
この計算機が扱う零空間の判定とは別の問題です。
行列式と返されたパラメータ族を読み取ります
係数行列は[[a,b],[c,d]]で、行列式はad − bcです。行列式がゼロでなければ行列は可逆です。行列式が厳密にゼロなら行は従属し、零空間にはゼロでないベクトルが含まれます。
第1行がゼロ行でない場合、a(−b) + b(a)がゼロになるため、方向ベクトル(−b,a)を使用します。したがって、すべての解は(x,y) = t(−b,a)と表せ、tには任意の実数を指定できます。第1行がゼロで第2行がゼロでなければ、同じ方法で(−d,c)を使用します。
応答にはパラメータ名、記号式、数値の方向ベクトルが含まれ、目視確認にも後続処理にも便利です。全係数がゼロの行列は階数1ではなく階数0です。両方の式が0 = 0となり、xとyを独立に選べます。
この場合はx = s、y = tと2本の標準基底を返し、解平面を1本の直線に誤って縮めません。
学習や自動処理で結果を検証します
出力は簡単に検算できる構成です。1パラメータ族の場合は、返された方向ベクトルに任意の実数tを掛け、その2成分を代入してください。どちらの式でも項が打ち消し合います。
全係数がゼロの場合、制約がないためsとtを独立に選べます。判定では行列式をゼロと厳密に比較し、小さいだけの非ゼロ値を勝手に特異とみなしません。この仕様は教科書的な係数や決定的なテストに適していますが、測定誤差を含むデータや悪条件の行列には、尺度に応じた許容誤差を使う数値的階数判定が必要な場合があります。
このアルゴリズムはネットワーク、乱数、現在時刻、隠れた状態を使わないため、同じ入力から常に同じ出力が得られます。
活用例
線形代数の問題を確認
2本の斉次方程式の解が原点だけか無限個かを判定し、返されたパラメータ表示を手計算と照合できます。
2x2零空間の基底を計算
特異行列から1次元零空間を張る方向ベクトルを求め、階数0という例外も正しく扱えます。
再現可能な解答を作成
小規模な斉次系をまとめて分類し、教材、試験、自動採点用に安定した構造化出力を作れます。
よくある質問
非自明解が存在するのはいつですか？
ad − bcがゼロのとき、かつそのときに限ります。この場合、係数行列は特異で、零空間に原点以外のベクトルが含まれます。
パラメータtは何を表しますか？
任意の実数を表します。 tを変えると返された方向ベクトルが拡大縮小され、階数1の斉次系のすべての解が生成されます。
a、b、c、dがすべてゼロならどうなりますか？
どちらの式も制約を課しません。応答は独立した2個のパラメータx = s、y = tと、平面全体の標準基底を返します。
非常に小さい行列式はゼロとみなされますか？
いいえ。 計算された数値をゼロと厳密に比較します。誤差を含む測定値には、尺度に合わせた許容誤差を持つ数値的階数判定をご利用ください。
右辺を入力する欄がないのはなぜですか？
同次連立方程式では右辺がいつも0なので、4つの係数だけで足りるからです。右辺にほかの値がある方程式には、一般の連立1次方程式のツールを使ってください。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.homogeneous_system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
この計算機は、ax + by = 0およびcx + dy = 0という形の2本の方程式を解きます。計算は決定的で外部サービスを使わず、ブラウザーでもAPIでも同じ構造の結果が得られます。
2本の斉次方程式を入力します
方程式をax + by = 0およびcx + dy = 0の形に整理し、4個の実数係数a、b、c、dを入力してください。たとえば、2x + 4y = 0とx + 2y = 0なら、a = 2、b = 4、c = 1、d = 2です。
行列式と返されたパラメータ族を読み取ります
可逆行列によってゼロベクトルに写されるベクトルはゼロベクトルだけなので、応答ではsolution_typeがtrivialとなり、x = 0、y = 0が返されます。
学習や自動処理で結果を検証します
最初にdeterminant、次にsolution_typeをご確認ください。自明解の場合、元の2式へx = 0とy = 0を代入すれば両辺がゼロになり、さらに可逆性によってほかの組が存在しないと分かります。t = 0なら自明解となり、ゼロでないtなら非自明解になります。ブラウザーでは無料で試せ、APIでは1件を$0.002で処理します。不正な入力にはinvalid_inputを返します。
技術的な質問
斉次系にはなぜ必ず自明解があるのですか？
x = 0、y = 0を代入すると、係数にかかわらず両方の左辺がゼロになり、ゼロの右辺と一致するためです。