Système linéaire homogène 2x2
Saisissez les quatre coefficients de deux équations égales à zéro et obtenez toutes leurs solutions : avec 1, 2, 3 et 4, le déterminant vaut −2, donc seuls x et y nuls conviennent. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 3
- D
- 4
- Déterminant
- -2
- Type de solution
- trivial
Il calcule le déterminant ad − bc afin d’établir si l’origine est l’unique solution ou si les solutions forment une famille paramétrique infinie. Lorsque les équations sont dépendantes, le résultat fournit un vecteur directeur et des expressions paramétrées pour x et y. Si tous les coefficients sont nuls, il restitue correctement le plan entier à deux paramètres.
Saisissez les deux équations homogènes
Les seconds membres ne nécessitent aucun champ, car ils valent toujours zéro dans un système homogène. Chaque coefficient est obligatoire, même s’il vaut zéro : omettre une valeur ne revient pas à déclarer l’absence du terme. Les entrées doivent être des nombres JavaScript finis ; les textes numériques, NaN, Infinity, tableaux et objets sont refusés afin d’éviter toute conversion implicite.
La valeur absolue de chaque coefficient est limitée à 1e150, ce qui maintient les produits du déterminant dans la plage finie de l’arithmétique en double précision. Après validation, le calculateur analyse la matrice et décrit intégralement l’ensemble des solutions. Il n’ajoute aucun terme constant et ne traite pas les systèmes non homogènes.
Si vos seconds membres ne sont pas nuls, utilisez plutôt un solveur général de systèmes linéaires, car le test du noyau proposé ici répond à une autre question.
Interprétez le déterminant et la famille obtenue
La matrice des coefficients est [[a,b],[c,d]] et son déterminant vaut ad − bc. Un déterminant non nul signifie que la matrice est inversible. Si le déterminant est exactement nul, les lignes sont dépendantes et le noyau contient des vecteurs non nuls.
Lorsque la première ligne n’est pas nulle, le calculateur choisit le vecteur directeur (−b,a), puisque a(−b) + b(a) vaut zéro. Toute solution s’écrit alors (x,y) = t(−b,a), où t est un réel quelconque. Si la première ligne est nulle mais pas la seconde, le même procédé fournit (−d,c).
La réponse contient le nom du paramètre, les expressions symboliques et le vecteur numérique, ce qui convient à la lecture comme au traitement automatique. La matrice entièrement nulle est de rang zéro : les deux équations deviennent 0 = 0 et x, y varient indépendamment. Le résultat donne alors x = s, y = t et la base canonique à deux vecteurs, sans réduire à tort le plan à une droite.
Vérifiez le résultat pour vos exercices et automatisations
La sortie se vérifie directement. Pour un résultat trivial, remplacez x et y par zéro dans les deux équations : elles sont satisfaites, et l’inversibilité prouve qu’aucun autre couple ne convient. Pour une famille à un paramètre, multipliez le vecteur directeur par un réel t quelconque et remplacez les composantes ; chaque équation s’annule.
Pour la matrice nulle, choisissez s et t indépendamment, puisqu’aucune contrainte ne subsiste. Le test compare exactement le déterminant à zéro : une petite valeur non nulle n’est jamais déclarée singulière en silence. Ce choix convient aux coefficients pédagogiques et aux tests déterministes, mais des mesures bruitées ou mal conditionnées peuvent exiger une méthode de rang numérique assortie d’une tolérance adaptée à leur échelle.
L’algorithme n’utilise ni réseau, ni hasard, ni heure courante, ni état caché ; une entrée identique produit toujours la même sortie.
Cas d’usage
Vérifier un exercice d’algèbre linéaire
Déterminez si un système homogène à deux équations admet seulement l’origine ou une infinité de solutions, puis comparez la paramétrisation à votre calcul.
Trouver une base du noyau 2x2
Transformez une matrice singulière en vecteur directeur engendrant son noyau unidimensionnel, tout en traitant l’exception de rang zéro.
Produire des corrigés déterministes
Classez des lots de petits systèmes homogènes avec une sortie structurée et stable pour les exercices, examens et tests automatisés.
Questions fréquentes
Pourquoi un système homogène possède-t-il toujours la solution triviale ?
En remplaçant x et y par zéro, les deux membres de gauche valent zéro et coïncident avec les membres de droite, quels que soient les coefficients.
Quand existe-t-il des solutions non triviales ?
Elles existent exactement lorsque ad − bc vaut zéro. La matrice des coefficients est alors singulière et son noyau contient des vecteurs autres que l’origine.
Que représente le paramètre t ?
Il peut prendre toute valeur réelle. Sa variation multiplie le vecteur directeur et engendre toutes les solutions d’un système homogène de rang un.
Que se passe-t-il si a, b, c et d valent tous zéro ?
Aucune équation n’impose de contrainte. La réponse emploie deux paramètres indépendants, x = s et y = t, et renvoie la base canonique du plan.
Un déterminant très petit est-il considéré comme nul ?
Non. Le nombre calculé est comparé exactement à zéro. Pour des données mesurées et bruitées, utilisez une méthode de rang numérique avec une tolérance adaptée à l’échelle.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", {
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"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":4,"c":1,"d":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/homogeneous-system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 2,
"b": 4,
"c": 1,
"d": 2
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.homogeneous_system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce calculateur résout deux équations de la forme ax + by = 0 et cx + dy = 0. Le calcul est déterministe, sans service externe, et produit la même réponse structurée dans le navigateur et via l’API.
Saisissez les deux équations homogènes
Écrivez le système sous la forme ax + by = 0 et cx + dy = 0, puis saisissez les quatre coefficients réels a, b, c et d. Ainsi, 2x + 4y = 0 et x + 2y = 0 correspondent à a = 2, b = 4, c = 1 et d = 2.
Interprétez le déterminant et la famille obtenue
Seul le vecteur nul est envoyé sur zéro par une matrice inversible ; la réponse indique donc solution_type égal à trivial et donne x = 0, y = 0.
Vérifiez le résultat pour vos exercices et automatisations
Consultez d’abord determinant, puis solution_type. Avec t = 0, vous retrouvez la solution triviale, tandis qu’un t non nul donne une solution non triviale. Vous pouvez l’essayer gratuitement dans votre navigateur ou soumettre un élément à l’API pour $0.002 ; une entrée incorrecte renvoie invalid_input.