Système 2x2 par élimination

Ce calculateur de système 2x2 par élimination résout deux équations linéaires à deux inconnues sans remplacer les valeurs exactes par des approximations arrondies. Saisissez les coefficients de x et de y ainsi que la constante de chaque équation. Le calculateur choisit une variable à annuler, multiplie les deux équations, les additionne, résout l'équation à une inconnue puis effectue une substitution pour renvoyer le point d'intersection exact. Il accepte les entiers, les décimaux finis et les fractions, ce qui convient à la vérification d'exercices, aux exemples corrigés et aux traitements automatisés déterministes.

Mettez les deux équations sous forme standard

Écrivez chaque équation sous la forme d'un multiple de x plus un multiple de y égal à une constante : a1x + b1y = c1 et a2x + b2y = c2. Placez ensuite ces six valeurs dans les champs correspondants. Avant la saisie, déplacez les termes variables à gauche et les constantes à droite.

Par exemple, 3x = 8 - 2y doit devenir 3x + 2y = 8. Le calculateur accepte les entiers signés comme -5, les décimaux finis comme 0.125 et les fractions comme 7/9. Une fraction doit avoir un numérateur entier et un dénominateur entier non nul.

Cette forme explicite évite les ambiguïtés de signe et rend chaque opération sur les lignes visible. Le résultat reste exact, car les entrées sont converties en nombres rationnels normalisés et non en estimations décimales arrondies. Si les équations représentent des droites parallèles ou confondues, leur déterminant est nul et aucun point d'intersection unique n'existe.

Le calculateur renvoie alors une erreur de saisie plutôt qu'un point arbitraire. Toute réponse réussie désigne donc nécessairement l'unique point commun aux deux droites.

Lisez les étapes de multiplication et d'élimination

L'élimination consiste à rendre opposés les coefficients d'une variable. Le calculateur annule normalement x lorsque ses deux coefficients sont non nuls. Il multiplie la première équation par le coefficient de x de la seconde, puis la seconde par l'opposé du coefficient de x de la première.

L'addition des lignes ainsi multipliées donne alors zéro pour les termes en x. Si un coefficient de x est déjà nul, la même construction est appliquée à y. La réponse nomme la variable éliminée et fournit les deux multiplicateurs, les équations multipliées et leur équation somme.

Vous pouvez ainsi reproduire le calcul sur papier et contrôler chaque signe. Le coefficient restant divise la constante restante pour déterminer une coordonnée, puis cette valeur est substituée dans une équation initiale afin d'obtenir l'autre. Tous les coefficients sont affichés sous forme de fractions réduites : 6/8 devient 3/4, le signe négatif reste au numérateur et les entiers apparaissent sans /1.

Le déterminant est également fourni comme contrôle rapide de l'unicité. S'il est non nul, l'addition conserve un coefficient exploitable et la substitution produit exactement une valeur de x et une valeur de y.

Exploitez l'intersection exacte en toute sécurité

L'objet point contient la réponse principale. Les applications capables de calcul rationnel peuvent analyser directement ces chaînes ; celles qui exigent des décimales peuvent diviser le numérateur par le dénominateur avec la précision voulue. L'indicateur unique n'est vrai que pour un appel réussi.

La validation détecte aussi un champ absent, un nombre mal formé ou un dénominateur nul avant tout calcul algébrique. L'implémentation est pure et déterministe : elle utilise une arithmétique entière de taille fixe, sans réseau, horloge ni hasard. Des suites de chiffres immenses créent des entiers exacts tout aussi grands ; conservez donc des coefficients de taille habituelle.

Pour les systèmes 2x2 visés, l'élimination rationnelle empêche l'arrondi de masquer si le point satisfait réellement les deux équations initiales.