Método da eliminação

Você envia os seis coeficientes e recebe a solução de x e y junto com cada etapa da eliminação, de modo que o resultado não é apenas uma resposta, mas uma solução desenvolvida. Os sistemas sem solução única são relatados com honestidade em vez de retornar um número enganoso.

O que o método da eliminação faz

Um sistema de duas equações lineares descreve duas retas, e resolvê-lo significa encontrar o único ponto onde elas se cruzam. O método da eliminação chega a esse ponto combinando as duas equações de modo que uma variável desaparece. Você multiplica a primeira equação pela razão dos coeficientes de x e a subtrai da segunda, o que deixa uma equação de uma só variável em y.

Resolvendo-a, obtém-se y, e substituindo y em qualquer uma das equações originais obtém-se x. Como o cálculo é totalmente determinístico, os mesmos coeficientes sempre produzem a mesma resposta, o que torna seguro incorporá-lo em corretores de lição de casa, ferramentas de tutoria e pipelines de validação que precisam de resultados reproduzíveis, e não de aproximações que variam entre execuções.

Etapas, não apenas uma resposta

Qualquer pessoa pode conferir uma resposta final, mas aprender — e auditar — precisa do desenvolvimento. Junto com x e y, a resposta inclui um array steps que narra a eliminação em linguagem simples: o sistema como foi dado, qualquer troca de linhas necessária quando o primeiro coeficiente de x é zero, o fator de escala usado para eliminar x, a equação reduzida de uma variável e a retrosubstituição que recupera x.

Cada etapa é gerada a partir da aritmética real, nunca de um modelo aplicado apenas às entradas, de modo que a narração sempre corresponde aos números. A resposta também repete as duas equações em forma normalizada, o que permite ao chamador confirmar que os coeficientes foram interpretados na ordem pretendida antes de confiar na solução.

Quando não há solução única

Nem todo par de equações se cruza em um único ponto. Se as duas retas são paralelas, não existe solução; se são a mesma reta escrita duas vezes, existem infinitas. Os dois casos compartilham uma mesma marca: o determinante da matriz dos coeficientes, a11·a22 − a12·a21, é zero.

Esse comportamento importa a jusante: um aplicativo de tutoria pode partir para uma explicação adequada de sistemas dependentes e incompatíveis, e um pipeline pode falhar rapidamente em vez de propagar um número sem sentido para um relatório. Chamadas inválidas nunca são cobradas, portanto testar casos-limite não custa nada.