Eliminationsverfahren
2x + 3y = 7 und 4x − 5y = 1 schneiden sich bei x ≈ 1,7272727273 und y ≈ 1,1818181818. Geben Sie die sechs Koeffizienten zweier linearer Gleichungen ein und erhalten Sie die Lösung mit jedem Eliminationsschritt erklärt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A11
- 2
- A12
- 3
- A21
- 4
- A22
- -5
- B1
- 7
- B2
- 1
- X
- 1,7272727273
- Y
- 1,1818181818
Sie senden die sechs Koeffizienten und erhalten die Lösung für x und y zusammen mit jedem Eliminationsschritt, sodass das Ergebnis nicht nur eine Antwort ist, sondern eine ausgearbeitete Lösung. Systeme ohne eindeutige Lösung werden ehrlich gemeldet, statt eine irreführende Zahl zurückzugeben.
Was das Eliminationsverfahren tut
Ein System aus zwei linearen Gleichungen beschreibt zwei Geraden, und es zu lösen bedeutet, den einen Punkt zu finden, an dem sie sich schneiden. Das Eliminationsverfahren erreicht diesen Punkt, indem es die beiden Gleichungen so kombiniert, dass eine Variable verschwindet. Sie multiplizieren die erste Gleichung mit dem Verhältnis der x-Koeffizienten und subtrahieren sie von der zweiten, wodurch eine Gleichung mit nur einer Variablen in y übrig bleibt.
Deren Lösung ergibt y, und das Einsetzen von y in eine der ursprünglichen Gleichungen ergibt x. Da die Berechnung vollständig deterministisch ist, liefern dieselben Koeffizienten immer dieselbe Antwort, was die Einbindung in Hausaufgabenprüfer, Nachhilfewerkzeuge und Validierungs-Pipelines sicher macht, die reproduzierbare Ergebnisse benötigen und keine Näherungswerte, die zwischen den Läufen abweichen.
Schritte, nicht nur eine Antwort
Jeder kann ein Endergebnis prüfen, aber Lernen — und ein Audit — braucht den Rechenweg. Neben x und y enthält die Antwort ein Array steps, das die Elimination in einfacher Sprache erzählt: das System wie vorgegeben, jeder notwendige Zeilentausch, wenn der führende x-Koeffizient null ist, der Skalierungsfaktor zum Eliminieren von x, die reduzierte Gleichung mit einer Variablen und das Rückwärtseinsetzen, das x zurückgewinnt. Jeder Schritt wird aus der tatsächlichen Arithmetik erzeugt, niemals aus einer Schablone, die nur auf die Eingaben angewendet wird, sodass die Erzählung immer zu den Zahlen passt.
Die Antwort gibt außerdem beide Gleichungen in normalisierter Form wieder, sodass der Aufrufer bestätigen kann, dass die Koeffizienten in der beabsichtigten Reihenfolge interpretiert wurden, bevor er der Lösung vertraut.
Wenn es keine eindeutige Lösung gibt
Nicht jedes Gleichungspaar schneidet sich in einem einzigen Punkt. Sind die beiden Geraden parallel, gibt es überhaupt keine Lösung; handelt es sich um dieselbe Gerade, die zweimal geschrieben wurde, gibt es unendlich viele. Beide Fälle teilen dasselbe Merkmal: Die Determinante der Koeffizientenmatrix, a11·a22 − a12·a21, ist null.
Ungültige Aufrufe werden nie abgerechnet, das Testen von Grenzfällen kostet also nichts.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Nachhilfewerkzeuge
Geben Sie eine vollständig ausgearbeitete Lösung mit jedem Eliminationsschritt zurück, damit Schüler das Verfahren sehen und nicht nur die Antwort.
Lösungsschlüssel und automatisierte Bewertung
Erzeugen Sie eine deterministische Referenzlösung mit Zwischenschritten zum Vergleich mit der Arbeit eines Schülers.
Häufige Fragen
Was kostet das?
Die Ausführung ist auf dieser Seite auch kostenlos in Ihrem Browser, und Aufrufe, die die Validierung nicht bestehen, werden nie abgerechnet.
Welche Eingabe wird erwartet?
Sechs Zahlen: a11, a12 und b1 für die erste Gleichung a11·x + a12·y = b1 sowie a21, a22 und b2 für die zweite.
Was passiert, wenn das System keine eindeutige Lösung hat?
Es werden keine Werte für x oder y zurückgegeben.
Wird der Rechenweg gezeigt?
Ja. Die Antwort enthält ein Array steps, das jede Eliminationsoperation, die reduzierte Gleichung in y und das Rückwärtseinsetzen für x beschreibt.
Ist das Ergebnis deterministisch?
Ja. Dieselben sechs Koeffizienten erzeugen immer dieselbe Ausgabe, Byte für Byte, ohne Zufall, Uhr oder Netzwerk.
Welche Variante des Verfahrens wird verwendet?
Skalierung und Subtraktion von Zeilen: Die erste Gleichung mit dem Verhältnis der x-Koeffizienten multiplizieren, von der zweiten subtrahieren, nach y auflösen und rückwärts einsetzen. Zeilen werden automatisch getauscht, wenn der führende x-Koeffizient null ist.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/elimination-method \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a11":2,"a12":3,"a21":4,"a22":-5,"b1":7,"b2":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/elimination-method", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a11": 2,
"a12": 3,
"a21": 4,
"a22": -5,
"b1": 7,
"b2": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/elimination-method",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a11": 2,
"a12": 3,
"a21": 4,
"a22": -5,
"b1": 7,
"b2": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/elimination-method", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a11":2,"a12":3,"a21":4,"a22":-5,"b1":7,"b2":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a11":2,"a12":3,"a21":4,"a22":-5,"b1":7,"b2":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/elimination-method", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a11": 2,
"a12": 3,
"a21": 4,
"a22": -5,
"b1": 7,
"b2": 1
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.elimination_method",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die API des Eliminationsverfahrens löst ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen — das klassische a11·x + a12·y = b1 und a21·x + a22·y = b2 — indem sie eine Variable eliminiert und durch Rückwärtseinsetzen die andere findet.
Was das Eliminationsverfahren tut
Dieser Endpunkt führt genau dieses Verfahren mit den sechs Koeffizienten aus, die Sie angeben — a11, a12 und b1 für die erste Gleichung sowie a21, a22 und b2 für die zweite — und gibt die Lösung als JSON zurück.
Schritte, nicht nur eine Antwort
Für Lernsoftware bedeutet das, ein vollständig ausgearbeitetes Beispiel mit einem einzigen API-Aufruf zu zeigen; für die automatisierte Bewertung bedeutet es, die Zwischenschritte eines Schülers mit einem Referenzverfahren zu vergleichen, statt nur die Endwerte zu prüfen.
Wenn es keine eindeutige Lösung gibt
Dieser Endpunkt berechnet diese Determinante zuerst und weist die Anfrage, wenn sie verschwindet, mit einem invalid_input-Fehler zurück, der klar sagt, dass es keine eindeutige Lösung gibt, statt durch null zu dividieren und Unendlich oder NaN zurückzugeben. Dieses Verhalten ist nachgelagert wichtig: Eine Nachhilfe-App kann zu einer passenden Erklärung abhängiger und unlösbarer Systeme wechseln, und eine Pipeline kann schnell scheitern, statt eine sinnlose Zahl in einen Bericht zu übertragen. Derselbe Code läuft kostenlos in Ihrem Browser auf dieser Seite, und die API kostet $0.002 pro Anfrage, wenn Sie sie automatisieren.
Integrationsbeispiele
Eingabevalidierung in Pipelines
Erkennen Sie singuläre oder abhängige Systeme frühzeitig durch einen klaren invalid_input-Fehler statt stiller NaN-Werte.