Quadratische Gleichung per Substitution lösen

Dieser Rechner löst Gleichungen, die durch das Ersetzen eines Ausdrucks mit u zu gewöhnlichen quadratischen Gleichungen werden. Geben Sie die drei Koeffizienten ein und wählen Sie, ob u für x zum Quadrat oder für die Hauptquadratwurzel von x steht. Der Rechner bestimmt die substituierten Nullstellen, wendet die notwendige Einschränkung des Definitionsbereichs an und setzt anschließend zurück, um alle reellen Werte von x auszugeben. Zusätzlich zeigt er die Diskriminante und eine übersichtliche Schrittfolge an, sodass Sie Aufgaben kontrollieren, Beispiele erstellen oder einen algebraischen Lösungsweg prüfen können.

Erkennen Sie eine verborgene quadratische Gleichung

Eine Gleichung ist quadratisch in der Form, wenn derselbe Ausdruck einmal in der ersten Potenz und einmal quadriert vorkommt. Eine biquadratische Gleichung wie x hoch vier minus fünf x zum Quadrat plus vier gleich null enthält x² und dessen Quadrat x⁴. Durch u = x² entsteht u² − 5u + 4 = 0.

Dasselbe Muster tritt bei Wurzeln auf: Enthält eine Gleichung x und √x, dann ist x das Quadrat dieser Wurzel. Mit u = √x erhalten Sie deshalb eine gewöhnliche quadratische Gleichung. Wählen Sie die Substitution passend zum ursprünglichen Ausdruck.

Dadurch bleiben die vertraute quadratische Rechnung, die Prüfung des Definitionsbereichs und die Rücksubstitution klar getrennt. Gerade in den letzten beiden Schritten werden Lösungen häufig übersehen oder fälschlich ergänzt.

Lösen Sie nach u auf und prüfen Sie den Bereich

Nach der Substitution berechnet der Rechner die Diskriminante b² − 4ac. Bei einer negativen Diskriminante gibt es keine reellen Werte für u und damit für die unterstützten Formen auch keine reellen Werte für x. Eine Diskriminante von null liefert eine doppelte u-Lösung, eine positive Diskriminante zwei Kandidaten.

Diese sind jedoch nicht automatisch zulässig. Beide Substitutionen verlangen u ≥ 0: Das Quadrat einer reellen Zahl kann nicht negativ sein, und auch die Hauptquadratwurzel ist stets nichtnegativ. So bleibt auch ein verworfener Kandidat sichtbar.

Für unterschiedlich große Koeffizienten verwendet die Berechnung eine numerisch stabile Form der quadratischen Formel. Alle Koeffizienten müssen endliche reelle Zahlen sein; a darf nicht null sein, weil die umgeformte Gleichung sonst linear wäre.

Substituieren Sie zurück, ohne Lösungen zu verlieren

Die Rücksubstitution richtet sich nach der Bedeutung von u. Bei u = x² erzeugt jedes positive zulässige u zwei reelle Antworten: die positive und die negative Quadratwurzel. Bei u = √x folgt aus √x = u die Gleichung x = u².

Jedes zulässige u ergibt genau ein x, denn das Wurzelzeichen bezeichnet die nichtnegative Hauptwurzel. Prüfen Sie vor der Verwendung, ob die gewählte Substitution tatsächlich zur Ausgangsgleichung passt. Freie algebraische Schreibweisen werden nicht analysiert, und Koeffizienten werden nicht aus eingegebenen Formeln abgeleitet.