Equazione quadratica per sostituzione
Risolva un'equazione biquadratica per passi: ponendo u al posto di x², x⁴ − 5x² + 4 = 0 diventa u² − 5u + 4 = 0, con u uguale a 1 o 4 e quattro soluzioni reali: −2, −1, 1 e 2. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 4
- Sostituzione
- X squared
- Sostituzione
- u = x^2
- Equazione trasformata
- 1u^2 - 5u + 4 = 0
- Discriminante
- 9
- Soluzioni in u
- 1, 4
Questo risolutore gestisce le equazioni che diventano quadratiche ordinarie quando un’espressione viene indicata con u. Inserisca i tre coefficienti e scelga se u rappresenta x al quadrato oppure la radice quadrata principale di x. Lo strumento trova le radici nella variabile sostituita, applica il vincolo di dominio necessario e torna a x per restituire tutte le soluzioni reali. Mostra inoltre il discriminante e una breve sequenza di passaggi, utile per controllare un esercizio, preparare esempi o verificare un procedimento algebrico.
Riconosca una quadratica nascosta in un’altra espressione
Un’equazione è quadratica nella forma quando la stessa espressione compare una volta alla prima potenza e una volta al quadrato. Un’equazione biquadratica come x alla quarta meno cinque x al quadrato più quattro uguale a zero contiene x² e il suo quadrato x⁴. Ponendo u = x², diventa u² − 5u + 4 = 0.
Selezioni la sostituzione corrispondente all’espressione originale. Questa separazione mantiene distinto il calcolo quadratico dall’analisi del dominio e dalla sostituzione inversa, i passaggi nei quali più spesso si perdono soluzioni oppure se ne aggiungono di non valide.
Risolva rispetto a u, quindi applichi il dominio
Dopo la sostituzione, lo strumento calcola il discriminante b² − 4ac. Un valore negativo indica che non esistono valori reali di u e quindi nemmeno valori reali di x per le forme supportate. Un discriminante nullo fornisce una radice ripetuta di u, mentre uno positivo produce due candidate.
Queste non sono automaticamente valide. Entrambe le sostituzioni richiedono u ≥ 0: il quadrato di un numero reale non può essere negativo e neppure la radice quadrata principale. Una candidata esclusa resta visibile.
Il calcolo usa una forma numericamente stabile della formula quadratica per limitare la cancellazione. I coefficienti devono essere numeri reali finiti e a deve essere diverso da zero, altrimenti l’equazione trasformata sarebbe lineare.
Esegua la sostituzione inversa senza perdere radici
Il ritorno a x dipende dal significato di u. Se u = x², ogni valore positivo ammissibile di u genera due risposte reali: la radice positiva e quella negativa. Per questo un’equazione di quarto grado può avere quattro, due, una o nessuna soluzione reale distinta, anche se la quadratica sostituita ha al massimo due radici.
Se u = √x, risolvere √x = u dà x = u². Da ogni u ammissibile si ottiene un solo x, perché il radicale indica la radice principale non negativa. Prima di utilizzare l’esito, verifichi che la sostituzione scelta corrisponda alla struttura iniziale.
Il risolutore non interpreta notazione algebrica libera né ricava coefficienti da un’equazione digitata.
Casi d'uso
Risolvere un’equazione biquadratica
Sostituisca x² con u, risolva la quadratica ottenuta e recuperi i valori reali positivi e negativi di x quando appropriato.
Gestire una quadratica con radicale
Usi la radice quadrata principale come u, escluda le radici negative e elevi al quadrato i valori ammissibili per ricavare x.
Controllare una soluzione didattica
Confronti il discriminante, tutte le radici di u, quelle compatibili con il dominio e le soluzioni finali ordinate con il calcolo manuale.
Domande frequenti
Il risolutore restituisce soluzioni complesse?
No. Restituisce soltanto soluzioni reali. Un discriminante negativo produce un elenco vuoto di soluzioni reali.
Perché una soluzione di u può essere esclusa?
Per x reale, sia x² sia la radice quadrata principale di x sono non negativi; una u negativa non consente quindi la sostituzione inversa.
Perché una u positiva dà due risposte per x²?
Se x² è positivo, sia la sua radice positiva sia quella negativa soddisfano l’equazione.
Perché esiste una sola risposta quando u è √x?
La radice principale è non negativa e il quadrato di una u ammissibile dà l’unico valore corrispondente x = u².
Come risolvo x⁴ − 5x² + 4 = 0?
Sostituisca u a x² per ottenere u² − 5u + 4 = 0, le cui radici sono 1 e 4. Ogni valore positivo di u dà due valori di x, quindi le soluzioni sono −2, −1, 1 e 2.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -5,
"c": 4,
"substitution": "x_squared"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -5,
"c": 4,
"substitution": "x_squared"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 4,
"substitution": "x_squared"
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_in_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Riconosca una quadratica nascosta in un’altra espressione
Lo stesso schema compare con i radicali: se un’equazione contiene x e √x, x è il quadrato di quella radice, quindi u = √x produce una quadratica ordinaria. Il risolutore richiede a, b e c secondo lo schema trasformato au² + bu + c = 0.
Risolva rispetto a u, quindi applichi il dominio
Perciò tutte le radici sono riportate in u_solutions, mentre quelle ammissibili compaiono separatamente in admissible_u_solutions.
Esegua la sostituzione inversa senza perdere radici
Se u = 0, esiste soltanto x = 0, non due copie differenti. Lo strumento ordina i risultati, elimina i duplicati e restituisce solution_count. Nell’automazione, ogni richiesta costa $0.002.
Domande tecniche
Quale equazione devo inserire?
Inserisca a, b e c per l’equazione trasformata au² + bu + c = 0, quindi scelga l’espressione rappresentata da u.
Quanto costa una richiesta API?
Ogni richiesta API costa $0.002; lo stesso risolutore deterministico può funzionare gratis nel browser.