Equação quadrática por substituição
Resolva uma equação biquadrada em etapas: com u no lugar de x², x⁴ − 5x² + 4 = 0 vira u² − 5u + 4 = 0, com u igual a 1 ou 4 e quatro soluções reais: −2, −1, 1 e 2. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 4
- Substituição
- X squared
- Substituição
- u = x^2
- Equação transformada
- 1u^2 - 5u + 4 = 0
- Discriminante
- 9
- Soluções em u
- 1, 4
Este solucionador trata equações que viram quadráticas comuns quando uma expressão é substituída por u. Informe os três coeficientes e escolha se u representa x ao quadrado ou a raiz quadrada principal de x. A ferramenta encontra as raízes da equação substituída, aplica a restrição de domínio necessária e desfaz a substituição para obter todos os valores reais de x. Ela também exibe o discriminante e uma sequência curta de etapas, útil para conferir exercícios, montar exemplos ou validar um procedimento algébrico.
Reconheça uma quadrática escondida em outra expressão
Uma equação é quadrática na forma quando a mesma expressão aparece uma vez na primeira potência e outra vez ao quadrado. Uma equação biquadrada como x elevado à quarta menos cinco x ao quadrado mais quatro igual a zero contém x² e o quadrado de x², isto é, x⁴. Ao definir u = x², ela se torna u² − 5u + 4 = 0.
O mesmo padrão aparece com radicais: se a equação contém x e √x, então x é o quadrado dessa raiz; portanto, u = √x produz uma quadrática comum. Escolha a substituição que corresponde à expressão original. Essa separação mantém o cálculo quadrático distinto da análise de domínio e da substituição inversa, etapas em que soluções costumam ser perdidas ou acrescentadas indevidamente.
Resolva em u e depois imponha o domínio
Após a substituição, o solucionador calcula o discriminante b² − 4ac. Um valor negativo indica que não existem valores reais de u nem valores reais de x nas formas aceitas. Um discriminante zero fornece uma raiz repetida de u, enquanto um valor positivo fornece duas candidatas.
Essas candidatas não são válidas automaticamente. As duas substituições disponíveis exigem u ≥ 0: o quadrado de um número real não pode ser negativo, e a raiz quadrada principal também nunca é negativa. O cálculo usa uma forma numericamente estável da fórmula quadrática para reduzir cancelamentos.
Os coeficientes devem ser números reais finitos, e a deve ser diferente de zero; caso contrário, a equação transformada seria linear.
Desfaça a substituição sem perder nem criar raízes
A substituição inversa depende do significado de u. Quando u = x², cada u positiva admissível gera duas respostas reais: a raiz positiva e a negativa. Quando u = √x, resolver √x = u resulta em x = u².
Cada u admissível fornece um único x, pois o radical representa a raiz principal não negativa. Antes de usar o resultado, confirme se a substituição escolhida corresponde à estrutura original. O recurso resolve a forma declarada; ele não interpreta notação algébrica livre nem extrai coeficientes de uma equação digitada.
Casos de uso
Resolver uma equação biquadrada
Substitua x² por u, resolva a quadrática resultante e recupere os valores reais positivos e negativos de x quando aplicável.
Tratar uma quadrática com radical
Use a raiz quadrada principal como u, descarte raízes substituídas negativas e eleve os valores admissíveis ao quadrado para recuperar x.
Conferir uma resolução didática
Compare o discriminante, todas as raízes de u, as raízes válidas no domínio e as soluções finais ordenadas com o cálculo manual.
Perguntas frequentes
O solucionador retorna soluções complexas?
Não. Ele retorna somente soluções reais. Um discriminante negativo produz uma lista vazia de soluções reais.
Por que uma solução de u pode ser rejeitada?
Tanto x² quanto a raiz quadrada principal de x são não negativos para x real; portanto, uma u negativa não pode ser usada na substituição inversa.
Por que uma u positiva gera duas respostas para x²?
Se x² é um número positivo, tanto a raiz positiva quanto a raiz negativa satisfazem a equação.
Por que existe uma única resposta quando u é √x?
A raiz principal é não negativa, e elevar uma u admissível ao quadrado fornece o único valor correspondente x = u².
Como resolvo x⁴ − 5x² + 4 = 0?
Troque x² por u para obter u² − 5u + 4 = 0, cujas raízes são 1 e 4. Cada valor positivo de u gera dois valores de x, então as soluções são −2, −1, 1 e 2.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -5,
"c": 4,
"substitution": "x_squared"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -5,
"c": 4,
"substitution": "x_squared"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":4,"substitution":"x_squared"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-in-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 4,
"substitution": "x_squared"
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_in_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Reconheça uma quadrática escondida em outra expressão
O solucionador recebe a, b e c no padrão transformado au² + bu + c = 0.
Resolva em u e depois imponha o domínio
Por isso, todas as raízes são mostradas em u_solutions e as que passam pelo domínio aparecem separadamente em admissible_u_solutions. Assim, uma candidata rejeitada permanece visível.
Desfaça a substituição sem perder nem criar raízes
Se u = 0, existe apenas x = 0, e não duas cópias distintas. Assim, uma equação de quarto grau pode ter quatro, duas, uma ou nenhuma solução real diferente, embora a quadrática substituída tenha no máximo duas raízes. A ferramenta ordena os valores, remove duplicatas e informa solution_count. Na automação, o mesmo resultado determinístico custa US$ 0,002 por solicitação.
Perguntas técnicas
Qual equação devo informar?
Informe a, b e c para a equação transformada au² + bu + c = 0 e escolha a expressão representada por u.
Quanto custa uma solicitação de API?
Cada solicitação de API custa US$ 0,002; o mesmo solucionador determinístico pode ser executado grátis no navegador.