Imaginärquadratische Klassenzahl

Dieser Rechner nimmt eine positive quadratfreie ganze Zahl d entgegen und ermittelt die Klassenzahl von Q(sqrt(-d)). Er bestimmt zuerst die Fundamentaldiskriminante und zählt anschließend deterministisch die primitiven, positiv definiten reduzierten binären quadratischen Formen. Das exakte Ergebnis nennt auch die verwendete Diskriminante, sodass Sie Aufgaben, Tabellen und Experimente ohne entfernte Datenbank prüfen können.

Was die Klassenzahl angibt

Jeder imaginärquadratische Zahlkörper Q(√−d) besitzt eine Idealklassengruppe, und die Klassenzahl zählt ihre Elemente. Ist sie 1, so ist jedes gebrochene Ideal ein Hauptideal; größere Werte zeigen, wie stark die Zerlegung von Idealen von Hauptidealen abweicht. Berechnet wird sie über primitive, positiv definite binäre quadratische Formen: Jeder Idealklasse entspricht eine Formenklasse derselben Diskriminante, und jede Klasse hat genau einen reduzierten Vertreter. Für 23 lautet die Diskriminante −23, und es gibt 3 reduzierte Formen.

So wird gerechnet, und typische Fehler

Zuerst wird die Fundamentaldiskriminante gewählt: Lässt d beim Teilen durch 4 den Rest 3, ist sie −d, sonst −4d. Danach werden a und b in endlichen Grenzen durchlaufen, c folgt aus der Diskriminante, und es bleiben nur Formen, bei denen der Betrag von b höchstens a und a höchstens c ist, mit nichtnegativem b am Rand und größtem gemeinsamem Teiler 1. Das Ergebnis ist exakt, ohne Näherung oder externe Tabelle. Häufige Fehler sind −d statt −4d, wodurch eine Ordnung im Körper statt des ganzen Ganzheitsrings gezählt wird, und ein d, das nicht quadratfrei ist, etwa 12, das durch 4 teilbar ist.

Vom quadratfreien Radikanden zur Diskriminante

Die Eingabe d bezeichnet Q(sqrt(-d)), doch die Formendiskriminante ist nicht immer -d. Gilt d gleich 3 modulo 4, lautet die Fundamentaldiskriminante -d; sonst ist sie -4d. Diese Unterscheidung verhindert, dass eine Ordnung statt des vollen Ganzheitsrings gezählt wird.

Der Rechner wendet die Regel an und gibt die Diskriminante aus. d muss positiv und quadratfrei sein: 5 ist zulässig, 12 wegen des Teilers 4 nicht. Die Ablehnung nicht quadratfreier Werte erhält eine eindeutige Körperbeschreibung. Die veröffentlichte Obergrenze sorgt zudem für eine schnelle, planbare Ausführung in Ihrem Browser.

Wie reduzierte Formen die Klassenzahl liefern

Für eine negative Fundamentaldiskriminante D entsprechen Idealklassen den Klassen primitiver positiver Formen ax^2+bxy+cy^2 mit b^2-4ac=D. Jede Klasse besitzt einen reduzierten Vertreter. Der Algorithmus zählt a und b in endlichen Grenzen auf, berechnet c und behält |b|<=a<=c.

An |b|=a oder a=c wird nur nichtnegatives b zugelassen, um Doppelzählungen zu vermeiden; gcd(a,b,c)=1 sichert die Primitivität. Die Schranke a<=sqrt(|D|/3) garantiert das Ende. Das Ergebnis ist exakt und benötigt weder Näherung, Zufall, externe Tabellen noch Heuristiken.