ForHosting KIT · 数学

虚二次体の類数計算

Q: どの入力を使用できますか？

1 から 1,000,000,000 までの正の平方因子を持たない整数 d です。

Q: どの判別式を使いますか？

d が 4 を法として 3 なら -d、それ以外は -4d です。

Q: なぜdは平方因子を持たない数でなければならないのですか？

異なる数が同じ二次体を表してしまい、どの基本判別式で数えるべきかが曖昧になるためです。たとえば5は条件を満たしますが、12は4で割り切れるので受け付けません。

Q: 数えているのは何ですか？

その判別式を持つ、原始的で正定値の二元二次形式のうち、簡約されたものの個数です。各類にちょうど1つの簡約形式があるので、その個数がそのまま類数になります。

Q: 結果は近似値ですか？

いいえ、近似ではありません。整数だけを使って簡約形式をすべて数え上げるため、乱数や外部の表に頼らず、毎回同じ正確な値が得られます。

平方因子を持たないdを入力すると、Q(√−d)の正確な類数が分かります。23なら判別式は−23で類数は3、1ならガウスの有理数体で類数は1です。ブラウザで無料で使えます。

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データは端末の外に出ません

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

D: 23

結果

判別式: -23
類数: 3

この計算機は、正の平方因子を持たない整数 d を受け取り、Q(sqrt(-d)) の類数を求めます。基本判別式を決定した後、その判別式を持つ原始的で正定値な簡約二元二次形式を決定論的に数えます。使用した判別式も結果に含まれるため、遠隔データベースに頼らず、数論の演習、表、計算実験を正確かつ再現可能に確認できます。

平方因子を持たない被開数から判別式へ

入力 d は Q(sqrt(-d)) を表しますが、形式に使う判別式は常に -d とは限りません。d が 4 を法として 3 なら基本判別式は -d、それ以外の平方因子を持たない場合は -4d です。この区別により、整数環全体ではなく部分整域の類を誤って数えることを防ぎます。

計算機は規則を自動適用し、類数とともに判別式を表示します。d は正で、素数の平方で割り切れてはいけません。たとえば 5 は有効ですが、12 は 4 で割れるため無効です。

この検査は体の表現を一意に保ちます。また公開された上限により、ブラウザーでも高速で予測可能に実行できます。

簡約形式から類数が得られる理由

負の基本判別式 D に対し、イデアル類は b^2-4ac=D を満たす原始的な正定値形式 ax^2+bxy+cy^2 の同値類に対応します。通常の境界規約では各類に簡約代表が1つあります。アルゴリズムは有限範囲の a と b を列挙し、c を求め、|b|<=a<=c の形式だけを残します。

|b|=a または a=c の境界では b>=0 のみを採用して重複を防ぎ、gcd(a,b,c)=1 も確認します。a<=sqrt(|D|/3) により探索の終了が保証されます。したがって近似、乱数、外部表、未証明の推測なしに類数を正確に得られます。

活用例

数論の演習を確認する

指定した体の正定値簡約形式を手作業で列挙した結果を検算します。

小さな類数表を作る

平方因子を持たない被開数ごとに判別式と正確な個数を保存します。

別実装を試験する

イデアル、解析公式、別の簡約規約によるコードと比較します。

よくある質問

どの入力を使用できますか？

1 から 1,000,000,000 までの正の平方因子を持たない整数 d です。

どの判別式を使いますか？

d が 4 を法として 3 なら -d、それ以外は -4d です。

なぜdは平方因子を持たない数でなければならないのですか？

異なる数が同じ二次体を表してしまい、どの基本判別式で数えるべきかが曖昧になるためです。たとえば5は条件を満たしますが、12は4で割り切れるので受け付けません。

数えているのは何ですか？

その判別式を持つ、原始的で正定値の二元二次形式のうち、簡約されたものの個数です。各類にちょうど1つの簡約形式があるので、その個数がそのまま類数になります。

結果は近似値ですか？

いいえ、近似ではありません。整数だけを使って簡約形式をすべて数え上げるため、乱数や外部の表に頼らず、毎回同じ正確な値が得られます。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/class-number-imaginary

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/class-number-imaginary \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"d":23}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/class-number-imaginary", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "d": 23
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/class-number-imaginary",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "d": 23
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/class-number-imaginary", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"d":23}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"d":23}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/class-number-imaginary", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "d": 23
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.class_number_imaginary",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

max_d 1000000000

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

結果の読み方と検算方法

類数1は、すべての分数イデアルが単項であることを示します。より大きな値は単項生成元の不足を表し、イデアル自体の一意分解の失敗ではありません。直接列挙は中程度の入力向けで、巨大な研究計算向けではありません。応答には d、基本判別式、class_number が含まれます。既知の検算例として d=1 は類数1、d=23 は判別式 -23 で類数3です。API は1回 $0.002、ブラウザーでは同じ純粋計算を無料でローカル実行できます。通信、時刻、乱数を使わないため、同じ入力は常に同じ JSON を返します。

技術的な質問

なぜ d に平方因子があってはいけませんか？

体を標準的に表し、その基本判別式を一意に選ぶためです。

何を数えていますか？

基本判別式を持つ原始的で正定値な簡約二元二次形式です。

結果は近似値ですか？

いいえ。有限列挙と整除判定はすべて正確な整数演算です。

API の料金はいくらですか？

1回 $0.002 です。ブラウザー計算は無料です。

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