Numero di classi quadratico immaginario

Questo calcolatore accetta un intero positivo privo di quadrati d e trova il numero di classi di Q(sqrt(-d)). Determina il discriminante fondamentale e conta in modo deterministico le forme quadratiche binarie primitive, positive e ridotte. Il risultato esatto riporta il discriminante impiegato, così Lei può verificare esercizi, tabelle ed esperimenti senza interrogare database remoti.

Che cos’è il numero di classi

Ogni campo quadratico immaginario Q(√−d) ha un gruppo delle classi di ideali, e il numero di classi ne conta gli elementi. Quando vale 1, ogni ideale frazionario è principale; valori più grandi indicano quanto la fattorizzazione degli ideali si discosta da quella in generatori principali. Il calcolo passa per le forme quadratiche binarie primitive e definite positive: a ciascuna classe di ideali corrisponde una classe di forme con lo stesso discriminante, e ogni classe ha un solo rappresentante ridotto. Per 23 il discriminante è −23 e le forme ridotte sono 3.

Come si calcola ed errori frequenti

Prima si sceglie il discriminante fondamentale: se d diviso per 4 dà resto 3 è −d, altrimenti è −4d. Poi si scorrono i valori di a e b entro un limite finito, si ricava c dal discriminante e si tengono solo le forme in cui il valore assoluto di b non supera a e a non supera c, con b non negativo sui bordi e massimo comun divisore di a, b e c uguale a 1. Il conteggio finale è esatto, senza approssimazioni né tabelle esterne. L’errore più comune è usare −d quando serve −4d, contando così un ordine interno al campo invece dell’anello degli interi; un altro è inserire un numero non privo di quadrati, come 12, che è divisibile per 4.

Dal radicando al discriminante del campo

L’input d identifica Q(sqrt(-d)), ma il discriminante non è sempre -d. Se d è congruo a 3 modulo 4, vale -d; negli altri casi privi di quadrati vale -4d. Questa distinzione evita di contare un ordine invece dell’intero anello degli interi.

Il calcolatore applica la regola e mostra il discriminante. d deve essere positivo e nessun quadrato primo può dividerlo: 5 è valido, 12 no perché è divisibile per 4. Il rifiuto degli altri valori conserva una descrizione canonica del campo. Il limite pubblicato mantiene inoltre rapida e prevedibile l’esecuzione nel browser.

Come le forme ridotte forniscono il numero

Per un discriminante fondamentale negativo D, le classi di ideali corrispondono alle classi delle forme primitive positive ax^2+bxy+cy^2 con b^2-4ac=D. Ogni classe ha un rappresentante ridotto. L’algoritmo enumera a e b entro limiti finiti, ricava c e conserva |b|<=a<=c.

Sui confini |b|=a o a=c accetta solo b non negativo, evitando duplicati, e verifica gcd(a,b,c)=1. Il limite a<=sqrt(|D|/3) garantisce la conclusione. Il conteggio è quindi esatto, senza approssimazioni, casualità, tabelle esterne o euristiche.