Reduzierte binäre quadratische Formen nach Diskriminante

Dieser Rechner listet die kanonischen reduzierten Vertreter primitiver, positiv definiter ganzzahliger binärer quadratischer Formen zu einer gewählten negativen Diskriminante auf. Geben Sie eine gültige Diskriminante ein, um sämtliche Koeffiziententripel [a, b, c], ihre Anzahl und die Diskriminante im Ergebnis zu erhalten. Die Berechnung ist exakt, deterministisch und verwendet Ganzzahlarithmetik. Damit können Sie Beispiele zu Klassenzahlen prüfen, Aufgaben vorbereiten, Äquivalenzklassen untersuchen und Rechnungen von Hand kontrollieren, ohne ein Computeralgebrasystem zu installieren oder eine entfernte mathematische Datenbank abzufragen.

Was der Rechner auflistet

Eine binäre quadratische Form ist ein Ausdruck ax² + bxy + cy² mit ganzzahligen Koeffizienten. Ihre Diskriminante lautet D = b² − 4ac. Ist D negativ und a positiv, so ist die Form positiv definit.

Der Rechner gibt primitive Formen mit gcd(a, b, c) = 1 zurück und wählt reduzierte Vertreter, die |b| ≤ a ≤ c erfüllen. In Grenzfällen gilt die Konvention b ≥ 0, wenn |b| = a oder a = c ist. Diese Bedingungen machen die Ergebnismenge endlich und liefern einen Standardvertreter jeder eigentlichen Äquivalenzklasse.

Jedes Ergebnis erscheint sowohl als einzelne Koeffizienten als auch in der kompakten Schreibweise [a, b, c]. Die angegebene Anzahl entspricht den gefundenen reduzierten primitiven Formen zur eingegebenen Diskriminante.

Eine Diskriminante auswählen und prüfen

Geben Sie eine negative ganze Zahl ein, die modulo 4 kongruent zu 0 oder 1 ist. Diese Bedingung ist notwendig, weil b² modulo 4 stets 0 oder 1 ergibt. Beispielsweise ist −23 gültig, da sie modulo 4 gleich 1 ist; −22 ist dagegen keine quadratische Diskriminante.

Der Rechner weist null, positive Werte, Brüche, unsichere Zahlen und Werte außerhalb der veröffentlichten Grenze zurück. Die Diskriminante muss nicht fundamental sein, da der Filter für primitive Formen weiterhin greift. Manche gültigen Diskriminanten besitzen keine primitiven Vertreter; dann erhalten Sie eine leere Liste mit der Anzahl null statt einer Fehlermeldung.

Warum die Aufzählung exakt und reproduzierbar bleibt

Der Algorithmus folgt unmittelbar aus der Reduktionstheorie. Bei einer reduzierten positiv definiten Form folgt aus den Ungleichungen a ≤ √(|D|/3), wodurch die äußere Schleife endlich begrenzt ist. Für jedes mögliche a prüft der Rechner ganze Zahlen b zwischen −a und a, berücksichtigt die erforderliche Parität und berechnet c mit (b² − D)/(4a).

Ein Kandidat bleibt nur erhalten, wenn c ganzzahlig ist, a ≤ c gilt, die Vorzeichenkonvention am Rand eingehalten wird und der größte gemeinsame Teiler der drei Koeffizienten eins ist. Alle entscheidenden Prüfungen verwenden exakte Ganzzahlarithmetik. Die Ergebnisse werden zuerst nach wachsendem a und danach nach wachsendem b sortiert.