Goldbach-Zerlegungen
Die 10 lässt sich in zwei Primzahlpaare zerlegen, 3 + 7 und 5 + 5, hat also 2 Goldbach-Zerlegungen. Geben Sie eine gerade Zahl von 4 bis zehn Millionen ein und erhalten Sie diese Anzahl, wobei jedes Paar nur einmal zählt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 10
- Anzahl der Partitionen
- 2
Der Rechner für Goldbach-Zerlegungen nimmt eine gerade ganze Zahl n größer als zwei entgegen und gibt an, wie viele ungeordnete Primzahlpaare genau n ergeben. Zehn besitzt zum Beispiel zwei Zerlegungen: drei plus sieben und fünf plus fünf. Jedes Paar wird nur einmal gezählt; sieben plus drei ist daher keine weitere Antwort. Die Berechnung verwendet ein exaktes Sieb des Eratosthenes, greift nicht auf das Netzwerk zu und liefert stets dasselbe Ergebnis. Für Unterricht und eigene Untersuchungen können Sie den Rechner kostenlos im Browser verwenden.
Was die Anzahl der Goldbach-Zerlegungen bedeutet
Die starke Goldbachsche Vermutung besagt, dass sich jede gerade ganze Zahl größer als zwei als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt. Eine Goldbach-Zerlegung ist eine ungeordnete Darstellung dieser Art. Ist n gleich zehn, lauten die gültigen Darstellungen drei plus sieben und fünf plus fünf; die Anzahl beträgt somit zwei.
Die Reihenfolge der Summanden spielt keine Rolle: Drei plus sieben und sieben plus drei bezeichnen dieselbe Zerlegung und werden nur einmal gezählt. Gleiche Summanden sind zulässig, sofern die wiederholte Zahl eine Primzahl ist. Deshalb gehört fünf plus fünf zu den Zerlegungen von zehn.
Die kompakte Antwort eignet sich dazu, die Zahl der Darstellungen zu bestimmen, zahlreiche gerade Zahlen zu vergleichen oder eine bekannte Folge zu prüfen. Eine Anzahl von null wäre weiterhin ein gültiges mathematisches Ergebnis; ein solcher Fund im unterstützten Bereich würde allerdings der Vermutung widersprechen und wäre höchst bedeutsam.
Wie jedes Paar genau einmal gezählt wird
Der Algorithmus legt zunächst ein kompaktes typisiertes Array für sämtliche ganzen Zahlen von null bis n an. Null und eins werden als Nichtprimzahlen markiert. Anschließend folgt das Sieb des Eratosthenes: Trifft das Verfahren vor der Quadratwurzel von n auf einen unmarkierten Wert p, markiert es alle Vielfachen ab p zum Quadrat als zusammengesetzt.
Danach entspricht jeder unmarkierte Index einer Primzahl. Der Zähler untersucht Kandidaten p nur von zwei bis n geteilt durch zwei. Sind p und n minus p Primzahlen, wird das Ergebnis um eins erhöht.
Die Begrenzung auf die Hälfte sorgt dafür, dass die Zerlegungen ungeordnet sind. Jedes Paar verschiedener Summanden besitzt genau ein kleineres Glied in diesem Bereich; ein Paar gleicher Primzahlen liegt genau an der Grenze. Die Paare müssen deshalb weder sortiert noch in einer Menge gesammelt werden, und ein doppelt ermittelter Gesamtwert muss nicht nachträglich halbiert werden.
Die Obergrenze von zehn Millionen beschränkt sowohl den Speicherbedarf als auch die Schleifenarbeit. Die Implementierung erzwingt dieselbe Grenze zusätzlich zur Formularprüfung. Sämtliche Rechenschritte erfolgen exakt mit ganzen Zahlen im sicheren JavaScript-Bereich.
Die Funktion verwendet weder externe Tabellen noch Dienste, Zufall oder Uhrzeit und behält zwischen Anfragen keinen Zustand.
Die Anzahl beim Lernen, Testen und Erkunden einsetzen
Die Anzahl der Zerlegungen fasst anschaulich zusammen, wie sich Primzahldarstellungen mit wachsenden geraden Zahlen verändern. So wird sichtbar, dass die Folge unregelmäßig verläuft, obwohl jeder geprüfte Fall mindestens eine Darstellung besitzt. Lehrkräfte können Lösungen für Aufgaben zu Primzahlen, Siebverfahren, ungeordneten Paaren und der Goldbachschen Vermutung erstellen, ohne alle Kandidaten von Hand aufzuzählen.
Entwicklerinnen und Entwickler können deterministische Testdaten für eine zahlentheoretische Bibliothek erzeugen, ein anderes Sieb prüfen oder Wettbewerbslösungen kontrollieren, die lediglich die Paaranzahl verlangen. Bei mathematischen Erkundungen lassen sich ausgewählte Eingaben vergleichen oder lokale Hoch- und Tiefpunkte in einem begrenzten Bereich suchen. Dabei ist wichtig: Endlich viele Prüfungen liefern Indizien, aber keinen allgemeinen Beweis.
Die Browserfassung führt dieselbe reine Berechnung lokal und bei interaktiver Nutzung kostenlos aus. Ungültige Eingaben werden nicht umgedeutet: Ein ungerades n wird nicht gerundet, eine Dezimalzahl nicht abgeschnitten und ein zu großer Wert nicht berechnet.
Anwendungsfälle
Goldbach-Anzahlen untersuchen
Vergleichen Sie für ausgewählte gerade Zahlen die Anzahl ungeordneter Primzahlsummen, ohne die Paare von Hand aufzulisten.
Programmieraufgaben kontrollieren
Erzeugen Sie deterministische Sollwerte für Unterricht und Aufgaben zu Sieben, Primzahlen und ungeordneten Paaren.
Zahlentheoretische Testfälle erstellen
Nutzen Sie exakte, kompakte Ergebnisse in Unit-Tests unabhängiger Implementierungen von Goldbach-Zerlegungen und Primzahltabellen.
Häufige Fragen
Was ist eine Goldbach-Zerlegung?
Sie ist ein ungeordnetes Primzahlpaar, dessen Summe der angegebenen geraden Zahl entspricht. Das Vertauschen der beiden Primzahlen erzeugt keine neue Zerlegung.
Wird eine zweimal verwendete Primzahl mitgezählt?
Ja. Ist n geteilt durch zwei eine Primzahl, bildet das gleiche Zahlenpaar eine gültige Zerlegung; fünf plus fünf ist beispielsweise eine Zerlegung von zehn.
Warum werden ungerade Zahlen abgelehnt?
Diese Funktion behandelt die starke Goldbach-Frage ausschließlich für gerade ganze Zahlen größer als zwei. Ungerade Werte liegen daher außerhalb ihres Vertrags.
Wie groß darf die Eingabe höchstens sein?
Der Höchstwert für n ist 10000000. Diese Grenze hält Speicherbedarf und Laufzeit sowohl im Browser als auch im Edge-Worker vorhersehbar.
Beweist diese Berechnung die Goldbachsche Vermutung?
Nein. Sie prüft und zählt Darstellungen für genau eine Zahl. Keine endliche Sammlung berechneter Fälle beweist die Vermutung für alle geraden ganzen Zahlen.
Was kostet die Berechnung?
Auf dieser Seite können Sie sie kostenlos im Browser ausführen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/goldbach-partition \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":100}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/goldbach-partition", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/goldbach-partition",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/goldbach-partition", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":100}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":100}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/goldbach-partition", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 100
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.goldbach_partition",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_n | 10000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Benötigt ein Programm einen reproduzierbaren Wert, kostet eine erfolgreiche API-Anfrage $0.002.
Was die Anzahl der Goldbach-Zerlegungen bedeutet
Diese Funktion gibt die übermittelte Zahl n und einen einzigen Wert partition_count zurück, keine Liste der Paare. Die Eingabe muss eine exakte ganze JSON-Zahl sein, gerade und zwischen vier und zehn Millionen liegen. Ungerade Zahlen sowie Werte unter vier führen zu invalid_input, weil die verlangte Definition dort nicht gilt.
Die Anzahl beim Lernen, Testen und Erkunden einsetzen
Sie können aufeinanderfolgende Werte berechnen und partition_count grafisch darstellen. Eine erfolgreiche API-Anfrage kostet $0.002 und liefert ein kleines Objekt, das sich leicht speichern, vergleichen oder visualisieren lässt.