Partições de Goldbach

A calculadora de partições de Goldbach recebe um inteiro par n maior que dois e informa quantos pares não ordenados de números primos somam exatamente n. Por exemplo, dez tem duas partições: três mais sete e cinco mais cinco. Cada par é contado uma única vez, portanto sete mais três não vira outra resposta. O cálculo usa uma peneira exata de Eratóstenes, não acessa a rede e sempre produz o mesmo resultado.

O significado da contagem de partições de Goldbach

A conjectura forte de Goldbach afirma que todo inteiro par maior que dois pode ser escrito como a soma de dois primos. Uma partição de Goldbach é uma representação não ordenada desse tipo. Quando n vale dez, as representações válidas são três mais sete e cinco mais cinco, totalizando duas partições.

A ordem das parcelas não importa: três mais sete e sete mais três descrevem a mesma partição e entram apenas uma vez. Parcelas iguais são permitidas quando o número repetido é primo, por isso cinco mais cinco continua válido para dez. A resposta compacta ajuda a descobrir quantas representações existem, comparar muitos inteiros pares ou conferir uma sequência conhecida.

Uma contagem igual a zero ainda seria um resultado matemático válido, embora encontrá-la no intervalo suportado contradissesse a conjectura e fosse extremamente relevante.

Como cada par é contado exatamente uma vez

Primeiro, o algoritmo cria um vetor tipado compacto que cobre todos os inteiros de zero até n. Ele marca zero e um como não primos e aplica a peneira de Eratóstenes: sempre que encontra um valor p ainda não marcado antes da raiz quadrada de n, marca como composto cada múltiplo a partir de p ao quadrado. Depois dessa etapa, todo índice não marcado é primo.

O contador examina candidatos p somente de dois até n dividido por dois. Quando p e n menos p são primos, acrescenta uma unidade ao resultado. Parar na metade é o detalhe que torna as partições não ordenadas.

Todo par com parcelas distintas possui exatamente um membro menor nesse intervalo, enquanto um par de primos iguais aparece no próprio limite. Assim, não é necessário ordenar pares, criar um conjunto nem dividir uma contagem duplicada. O máximo de dez milhões limita a memória do vetor e o trabalho dos laços, e a implementação impõe o mesmo teto além da validação do formulário.

Toda operação usa inteiros exatos dentro da faixa segura do JavaScript. A função não consulta tabelas externas, serviços, aleatoriedade ou relógio e não mantém estado entre solicitações.

Como usar a contagem em estudos, testes e exploração

A contagem de partições resume de maneira útil como as representações por primos mudam conforme os inteiros pares crescem. Professores podem preparar gabaritos sobre primos, peneiras, pares não ordenados e a conjectura de Goldbach sem enumerar candidatos manualmente. Desenvolvedores podem criar dados determinísticos para bibliotecas de teoria dos números, verificar outra implementação de peneira ou conferir soluções de concursos que pedem apenas a quantidade de pares.

Em explorações recreativas, é possível comparar entradas escolhidas ou procurar máximos e mínimos locais em uma faixa limitada, sempre lembrando que testar um conjunto finito oferece evidências, não uma prova universal. A versão no navegador executa localmente o mesmo cálculo puro e é gratuita para uso interativo. Entradas inválidas são rejeitadas sem conversão: n ímpar não é arredondado, decimal não é truncado e valor excessivo não é processado.