Partitions de Goldbach

Le calculateur de partitions de Goldbach reçoit un entier pair n supérieur à deux et indique combien de paires non ordonnées de nombres premiers ont exactement n pour somme. Par exemple, dix possède deux partitions : trois plus sept et cinq plus cinq. Chaque paire n'est comptée qu'une fois ; sept plus trois ne constitue donc pas une autre réponse. Le calcul repose sur un crible d'Ératosthène exact, ne sollicite aucun réseau et donne toujours le même résultat.

Comprendre le nombre de partitions de Goldbach

La conjecture forte de Goldbach affirme que tout entier pair supérieur à deux peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Une partition de Goldbach est une représentation non ordonnée de cette forme. Lorsque n vaut dix, les représentations valides sont trois plus sept et cinq plus cinq : le nombre de partitions est donc deux.

L'ordre des termes ne compte pas ; trois plus sept et sept plus trois décrivent la même partition et ne comptent qu'une fois. Deux termes égaux sont admis si le nombre répété est premier, ce qui conserve cinq plus cinq pour dix. Cette réponse compacte sert à connaître le nombre de représentations, à comparer de nombreux entiers pairs ou à vérifier une suite connue.

Un résultat nul resterait une réponse mathématique valide, même si sa découverte dans la plage prise en charge contredirait la conjecture et serait donc remarquable.

Compter chaque paire une seule fois

L'algorithme commence par créer un tableau typé compact qui couvre tous les entiers de zéro à n. Il marque zéro et un comme non premiers, puis applique le crible d'Ératosthène : chaque fois qu'une valeur p non marquée apparaît avant la racine carrée de n, tous ses multiples à partir de p au carré sont marqués comme composés. Après ce passage, chaque indice non marqué est premier.

Le compteur examine ensuite les candidats p uniquement de deux à n divisé par deux. Si p et n moins p sont tous deux premiers, il ajoute une unité au résultat. S'arrêter à la moitié rend précisément les partitions non ordonnées.

Toute paire de termes distincts possède un unique petit terme dans cet intervalle, tandis qu'une paire de premiers égaux se trouve exactement à la borne. Il est donc inutile de trier les paires, de construire un ensemble ou de diviser un total compté deux fois. La limite de dix millions borne la mémoire du tableau et la durée des boucles ; l'implémentation applique elle-même ce plafond en plus du formulaire.

Les opérations restent entières et exactes dans la plage sûre de JavaScript. La fonction n'utilise ni table externe, ni service, ni hasard, ni horloge, et ne conserve aucun état entre les requêtes.

Exploiter le résultat pour apprendre, tester et chercher

Le nombre de partitions résume utilement l'évolution des représentations premières lorsque les entiers pairs augmentent. Le corps enseignant peut préparer des corrigés sur les nombres premiers, les cribles, les paires non ordonnées et la conjecture de Goldbach sans énumération manuelle. Les équipes de développement peuvent créer des jeux d'essai déterministes pour une bibliothèque de théorie des nombres, contrôler un autre crible ou valider des solutions de concours qui demandent seulement le nombre de paires.

Les amateurs peuvent comparer des entrées choisies ou rechercher des maxima et minima locaux dans une plage bornée, tout en sachant qu'un calcul fini fournit des indices et non une preuve générale. La version web exécute localement le même calcul pur et reste gratuite en usage interactif. Les entrées incorrectes ne sont jamais converties : un n impair n'est pas arrondi, un décimal n'est pas tronqué et une valeur excessive n'est pas tentée.