Gaußsche ganze Zahlen faktorisieren
Zerlegen Sie jede von null verschiedene gaußsche ganze Zahl in gaußsche Primzahlen: 5 wird zu −i · (1+2i) · (2+i), mit Einheit, Exponenten und Normen. Auch 1 + i, träge und zerfallende Primzahlen werden einheitlich behandelt, passend für Algebra-Aufgaben. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 5
- B
- 0
- Gaußsche Zahl
- 5 -i
- Norm
- 25
- Einheit (Realteil)
- 0
- Einheit (Imaginärteil)
- -1
Gaußsche ganze Zahlen sind komplexe Zahlen a + bi, deren Real- und Imaginärteil gewöhnliche ganze Zahlen sind. So wie jede ganze Zahl eindeutig in rationale Primzahlen zerfällt, zerfällt jede von null verschiedene gaußsche ganze Zahl eindeutig in gaußsche Primzahlen, bis auf Einheiten und Reihenfolge. Dieser Rechner nimmt das Paar (a, b), führt eine deterministische Faktorisierung im Ring Z[i] aus und liefert eine Einheit in {1, −1, i, −i}, jede gaußsche Primbasis in einem bevorzugten Assoziierten des ersten Quadranten, ihren Exponenten, die multiplikative Norm a² + b² und eine kompakte Faktorisierungszeichenkette. Nutzen Sie ihn, um Hausaufgaben zu algebraischen Zahlen zu prüfen, Kryptografie-Demos mit gaußschen ganzen Zahlen zu auditieren oder strukturierte Primzahlen in eine weitere Pipeline zu speisen, ohne Probeschleifen in Z[i] von Hand zu schreiben. Null wird abgelehnt, weil es keine Primfaktorzerlegung besitzt.
Was die gaußsche Primfaktorzerlegung zurückgibt
Eine gaußsche ganze Zahl ist ein Element des Rings Z[i], geschrieben a + bi mit ganzen a und b. Ihre multiplikative Norm ist N(a + bi) = a² + b², eine nichtnegative gewöhnliche ganze Zahl, die unter Produkten multipliziert. Die Einheiten von Z[i] sind genau 1, −1, i und −i —die Elemente der Norm eins.
Eine Nichteinheit π ist prim in Z[i], wenn sie sich nicht als Produkt zweier Nichteinheiten schreiben lässt. Der Struktursatz ist klassisch: die rationale Primzahl 2 verzweigt als Einheit mal (1 + i) zum Quadrat; jede rationale Primzahl p ≡ 3 (mod 4) bleibt in Z[i] prim (träge); und jede rationale Primzahl p ≡ 1 (mod 4) spaltet sich in ein Produkt zweier konjugierter gaußscher Primzahlen der Norm p, die man durch Darstellung von p als Summe zweier Quadrate erhält.
Das Faktorisieren von a + bi reduziert sich daher auf das Faktorisieren der Norm in den gewöhnlichen ganzen Zahlen, das Heben jeder rationalen Primzahl nach Z[i] und das Herausdividieren der passenden gaußschen Primzahlen durch exakte Division.
Wo strukturierte gaußsche Primzahlen nützlich sind
Algebra- und Zahlentheoriekurse führen Z[i] direkt nach der eindeutigen Faktorisierung in den gewöhnlichen ganzen Zahlen ein, und Studierende brauchen ein verlässliches Orakel, das Einheiten von Primzahlen trennt und 1 + i, träge Primzahlen kongruent drei modulo vier sowie gespaltene Primzahlen kongruent eins modulo vier konsistent behandelt. Kryptografie-Demos, die Ideale, Normen oder einfache Gitterbeispiele über Z[i] illustrieren, können die Primfaktoren eines Challenge-Elements zeigen, ohne ein volles Computer-Algebra-System aufzusetzen. Forschungsnotebooks und automatisierte Pipelines können diese Ausgabe in ggT-Berechnungen, Idealgeneratoren oder Normgleichungen verketten.
Anwendungsfälle
Algebra-Hausaufgaben und Prüfungen
Prüfen Sie Schülerfaktorisierungen von a+bi in gaußsche Primzahlen, einschließlich Einheiten und dem Sonderfall von Potenzen von 1+i.
Automatische Bewertung in Wettbewerb und LMS
Bewerten Sie Aufgaben zur Faktorisierung gaußscher ganzer Zahlen mit einem deterministischen Orakel, das Null ablehnt und geordnete Primpotenzen liefert.
Notebooks und Krypto-Demos
Speisen Sie strukturierte Z[i]-Primzahlen in Normgleichungen, Idealbeispiele oder Unterrichtsskizzen zur Kryptografie ein, ohne ein CAS zu installieren.
Häufige Fragen
Wie faktorisiere ich eine gaußsche ganze Zahl a + bi?
Senden Sie die ganzen Zahlen a und b (Real- und Imaginärteil). Die Antwort listet eine Einheit in {1,−1,i,−i}, gaußsche Primpotenzen mit Exponenten, die Norm a²+b² und eine Faktorisierungszeichenkette.
Wie werden gaußsche Primzahlen im Ergebnis geschrieben?
Jede Primzahl wird auf einen bevorzugten Assoziierten im ersten Quadranten reduziert (positiver Realteil und nichtnegativer Imaginärteil, wo möglich). Ein separates unit-Feld nimmt die Rest-Einheit auf, sodass das Produkt a+bi exakt rekonstruiert.
Was unterscheidet dies von der gewöhnlichen Primfaktorzerlegung?
Die gewöhnliche Primfaktorzerlegung arbeitet in Z. Dieses Werkzeug arbeitet in Z[i]: die Zwei kann eine Potenz von 1+i werden, Primzahlen ≡ 1 (mod 4) spalten sich in konjugierte Paare, und Primzahlen ≡ 3 (mod 4) bleiben prim.
Wie zerfällt 5 in den gaußschen ganzen Zahlen?
5 lässt sich als −i · (1+2i) · (2+i) schreiben. Beide Faktoren haben die Norm 5, und die Einheit −i macht das Produkt exakt. Unter den gewöhnlichen ganzen Zahlen ist 5 prim, unter den gaußschen nicht.
Welche gewöhnlichen Primzahlen bleiben in Z[i] prim?
Primzahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen, etwa 3, bleiben prim. Solche mit Rest 1 zerfallen in zwei konjugierte gaußsche Primzahlen, und 2 ist eine Einheit mal (1 + i) zum Quadrat.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
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Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":5,"b":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 5,
"b": 0
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 5,
"b": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":5,"b":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":5,"b":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 5,
"b": 0
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.gaussian_integer_factor",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Der kostenlose Browser-Pfad und die API teilen dasselbe reine Modul, sodass Unterrichtskontrollen und Produktionsclients bei einer gegebenen Eingabe nie abweichen.
Was die gaußsche Primfaktorzerlegung zurückgibt
Dieser Endpunkt liefert diese Zerlegung in stabiler Form: eine bevorzugte Einheit, Primzahlen sortiert nach aufsteigender Norm und dann Real- und Imaginärteil, jede Primzahl im ersten Quadranten geschrieben (nichtnegativer Imaginärteil und positiver Realteil, wo möglich), zusammen mit omega (verschiedene Primbasen), big_omega (Gesamtmuliplizität), Kennzeichen für Einheiten und gaußsche Primzahlen sowie einer lesbaren Faktorisierungszeichenkette. Derselbe deterministische Pfad speist das kostenlose Browser-Werkzeug und die kostenpflichtige API zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage.
So rufen Sie den Rechner auf und lesen das Ergebnis
Aliasnamen real oder re für a sowie imag oder im für b werden akzeptiert. Zusammengesetzte Beispiele umfassen die Fünf gleich einer Einheit mal (1 + 2i) mal (2 + i), die Zwei gleich einer Einheit mal (1 + i) zum Quadrat und die Drei, die als träge rationale Primzahl drei prim bleibt. Senden Sie ein JSON-Objekt mit zwei Pflicht-Ganzzahlfeldern: a (Realteil) und b (Imaginärteil). Jeder Teil darf eine JSON-Ganzzahl oder eine schlichte Dezimalzeichenkette ohne Kommas, Leerzeichen oder wissenschaftliche Notation sein, und jeder Absolutbetrag muss innerhalb einer Million bleiben, damit die Probedivision der Norm praktisch bleibt. Das Paar (0, 0) wird mit invalid_input abgelehnt und nie berechnet, weil Null in Z[i] keine Primfaktorzerlegung hat. Einheiten wie 1, −1, i und −i gelingen mit leerem factors-Array, is_unit true und der Einheit selbst im Feld unit. Bei Erfolg spiegelt der Rumpf a und b wider, eine kompakte gaußsche Zeichenkette wie 3+4i, die dezimale Norm, unit und unit_re/unit_im, ein geordnetes factors-Array von Objekten mit re, im, prime, exponent und norm, plus omega, big_omega, factorization, is_unit und is_prime. is_prime ist genau dann true, wenn es eine einzige Primbasis mit Exponent eins gibt (die Eingabe ist assoziiert zu einer gaußschen Primzahl). Fehlgeschlagene Validierung verbraucht nie Guthaben; nur erfolgreiche Faktorisierungen berechnen den veröffentlichten $0.002.
Wo strukturierte gaußsche Primzahlen nützlich sind
Wettbewerbsaufgaben und Programmier-Jurys, die eine Faktorisierung in den gaußschen ganzen Zahlen verlangen, profitieren von einem byte-stabilen JSON-Vertrag statt einer freien Zeichenkette, die Korrigierende von Hand parsen müssten. Nutzen Sie den Browser-Pfad zur interaktiven Erkundung und die API, wenn ein Backend, Notebook oder Batch-Job viele gaußsche ganze Zahlen unter einem einzigen vorausbezahlten KIT-Guthaben ohne Abonnement faktorisieren muss.
Technische Fragen
Warum wird Null abgelehnt?
Das Nullelement von Z[i] hat keine Primfaktorzerlegung. Die API liefert invalid_input für (a, b) = (0, 0) und berechnet die Anfrage nicht.
Ist der Rechner zur Faktorisierung gaußscher ganzer Zahlen kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.