Fatoração de inteiros gaussianos
Decomponha qualquer inteiro gaussiano não nulo em primos gaussianos: 5 vira −i · (1+2i) · (2+i), com a unidade, os expoentes e as normas. Trata de forma coerente 1 + i, os primos que continuam primos e os que se dividem, útil em tarefas de álgebra. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 5
- B
- 0
- Inteiro gaussiano
- 5 -i
- Norma
- 25
- Unidade (parte real)
- 0
- Unidade (parte imaginária)
- -1
Inteiros gaussianos são números complexos a + bi cujas partes real e imaginária são inteiros ordinários. Assim como todo número inteiro se fatora de forma única em primos racionais, todo inteiro gaussiano não nulo se fatora de forma única em primos gaussianos, salvo unidades e ordem. Esta calculadora recebe o par (a, b), executa uma fatoração determinística no anel Z[i] e devolve uma unidade em {1, −1, i, −i}, cada base prima gaussiana em um associado preferido do primeiro quadrante, seu expoente, a norma multiplicativa a² + b² e uma string compacta de fatoração. Use-a para conferir lições de números algébricos, auditar demonstrações de criptografia que se apoiam nos inteiros gaussianos, ou alimentar primos estruturados em outro pipeline sem escrever à mão laços de tentativa em Z[i]. O zero é rejeitado porque não admite fatoração prima.
O que a fatoração em primos gaussianos devolve
Um inteiro gaussiano é um elemento do anel Z[i], escrito a + bi com a e b inteiros. Sua norma multiplicativa é N(a + bi) = a² + b², um inteiro ordinário não negativo que multiplica sob produtos. As unidades de Z[i] são exatamente 1, −1, i e −i —os elementos de norma um.
Um inteiro gaussiano não unidade π é primo em Z[i] quando não pode ser escrito como produto de dois não unidades. O teorema estrutural é clássico: o primo racional 2 ramifica-se como uma unidade vezes (1 + i) ao quadrado; todo primo racional p ≡ 3 (mod 4) permanece primo (inerte) em Z[i]; e todo primo racional p ≡ 1 (mod 4) se decompõe como produto de dois primos gaussianos conjugados de norma p, recuperados escrevendo p como soma de dois quadrados.
Fatorar a + bi reduz-se, portanto, a fatorar sua norma nos inteiros ordinários, elevar cada primo racional a Z[i] e extrair os primos gaussianos correspondentes por divisão exata.
Onde primos gaussianos estruturados são úteis
Cursos de álgebra e teoria dos números introduzem Z[i] logo após a fatoração única nos inteiros ordinários, e os alunos precisam de um oráculo confiável que separe unidades de primos e trate de forma coerente 1 + i, primos inertes congruentes a três módulo quatro e primos cindidos congruentes a um módulo quatro. Demonstrações de criptografia que ilustram ideais, normas ou exemplos simples de reticulados sobre Z[i] podem mostrar os fatores primos de um elemento de desafio sem levantar um sistema completo de álgebra computacional.
Cadernos de pesquisa e pipelines automatizados podem encadear esta saída em cálculos de mdc, geradores de ideais ou equações de norma.
Casos de uso
Lições e provas de álgebra
Confira fatorações de alunos de a+bi em primos gaussianos, incluindo unidades e o caso especial de potências de 1+i.
Correção automática em competições e LMS
Avalie itens de fatoração de inteiros gaussianos com um oráculo determinístico que rejeita o zero e devolve potências primas ordenadas.
Cadernos e demos de cripto
Alimente primos estruturados de Z[i] em equações de norma, exemplos de ideais ou esboços de criptografia de sala sem instalar um CAS.
Perguntas frequentes
Como fatorar um inteiro gaussiano a + bi?
Envie os inteiros a e b (partes real e imaginária). A resposta lista uma unidade em {1,−1,i,−i}, potências de primos gaussianos com expoentes, a norma a²+b² e uma string de fatoração.
Por que o zero é rejeitado?
O elemento zero de Z[i] não tem fatoração prima.
A calculadora de fatoração de inteiros gaussianos é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Como os primos gaussianos são escritos no resultado?
Cada primo é reduzido a um associado preferido no primeiro quadrante (parte real positiva e parte imaginária não negativa quando possível). Um campo unit separado absorve a unidade restante para que o produto reconstrua a+bi exatamente.
Qual a diferença em relação à fatoração prima ordinária?
A fatoração prima ordinária trabalha em Z. Esta ferramenta trabalha em Z[i]: o dois pode tornar-se uma potência de 1+i, primos ≡ 1 (mod 4) cindem-se em pares conjugados e primos ≡ 3 (mod 4) permanecem primos.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":5,"b":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 5,
"b": 0
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 5,
"b": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":5,"b":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":5,"b":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 5,
"b": 0
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.gaussian_integer_factor",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O caminho gratuito do navegador e a API compartilham o mesmo módulo puro, de modo que checagens de sala de aula e clientes de produção nunca discordam de uma entrada dada.
O que a fatoração em primos gaussianos devolve
Este endpoint devolve essa fatoração em forma estável: uma unidade preferida, primos ordenados por norma ascendente e depois por partes real e imaginária, cada primo escrito no primeiro quadrante (parte imaginária não negativa e parte real positiva quando possível), junto com omega (bases primas distintas), big_omega (multiplicidade total), indicadores de unidades e primos gaussianos, e uma string legível de fatoração. O mesmo caminho determinístico alimenta a ferramenta gratuita do navegador e a API paga a US$ 0,002 por requisição bem-sucedida.
Como chamar a calculadora e ler o resultado
Exemplos compostos incluem o cinco igual a uma unidade vezes (1 + 2i) vezes (2 + i), o dois igual a uma unidade vezes (1 + i) ao quadrado, e o três que permanece primo como o primo racional inerte três. Envie um objeto JSON com dois campos inteiros obrigatórios: a (parte real) e b (parte imaginária). São aceitos os aliases real ou re para a, e imag ou im para b. Cada parte pode ser um inteiro JSON ou uma string decimal simples sem vírgulas, espaços ou notação científica, e cada valor absoluto deve permanecer dentro de um milhão para que a divisão por tentativa sobre a norma continue prática. O par (0, 0) é rejeitado com invalid_input e nunca é cobrado, porque o zero não tem fatoração prima em Z[i]. Unidades como 1, −1, i e −i têm sucesso com um array factors vazio, is_unit true, e a própria unidade no campo unit. Em caso de sucesso o corpo ecoa a e b, uma string gaussiana compacta como 3+4i, a norma decimal, unit e unit_re/unit_im, um array ordenado factors de objetos com re, im, prime, exponent e norm, mais omega, big_omega, factorization, is_unit e is_prime. is_prime é true exatamente quando há uma única base prima com expoente um (a entrada é associada a um primo gaussiano). Validação falha nunca consome saldo; apenas fatorações bem-sucedidas cobram o US$ 0,002 publicado.
Onde primos gaussianos estruturados são úteis
Problemas de competição e juízes de programação que pedem fatoração nos inteiros gaussianos beneficiam-se de um contrato JSON estável byte a byte em vez de uma string livre que o corretor precise interpretar à mão. Use o caminho do navegador para exploração interativa e a API quando um backend, um notebook ou um job em lote precisar fatorar muitos inteiros gaussianos sob um único saldo pré-pago do KIT sem assinatura.