Factorización de enteros gaussianos
Descomponga cualquier entero gaussiano no nulo en primos gaussianos: 5 queda como −i · (1+2i) · (2+i), con la unidad, los exponentes y las normas. Trata por igual 1 + i, los primos que siguen siendo primos y los que se dividen. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 5
- B
- 0
- Entero gaussiano
- 5 -i
- Norma
- 25
- Unidad (parte real)
- 0
- Unidad (parte imaginaria)
- -1
Los enteros gaussianos son números complejos a + bi cuyas partes real e imaginaria son enteros ordinarios. Así como todo número entero se factoriza de forma única en primos racionales, todo entero gaussiano no nulo se factoriza de forma única en primos gaussianos salvo unidades y orden. Esta calculadora toma el par (a, b), ejecuta una factorización determinista en el anillo Z[i] y devuelve una unidad en {1, −1, i, −i}, cada base prima gaussiana en un asociado preferido del primer cuadrante, su exponente, la norma multiplicativa a² + b² y una cadena compacta de factorización. Úsela para comprobar tareas de números algebraicos, auditar demostraciones de criptografía que apoyan en los enteros gaussianos, o alimentar primos estructurados a otra canalización sin escribir a mano bucles de prueba en Z[i]. El cero se rechaza porque no admite factorización prima.
Qué devuelve la factorización en primos gaussianos
Un entero gaussiano es un elemento del anillo Z[i], escrito a + bi con a y b enteros. Su norma multiplicativa es N(a + bi) = a² + b², un entero ordinario no negativo que multiplica bajo productos. Las unidades de Z[i] son exactamente 1, −1, i y −i —los elementos de norma uno.
Un entero gaussiano no unidad π es primo en Z[i] cuando no puede escribirse como producto de dos no unidades. El teorema estructural es clásico: el primo racional 2 se ramifica como una unidad por (1 + i) al cuadrado; todo primo racional p ≡ 3 (mod 4) permanece primo (inerte) en Z[i]; y todo primo racional p ≡ 1 (mod 4) se descompone como producto de dos primos gaussianos conjugados de norma p, que se recuperan escribiendo p como suma de dos cuadrados.
Factorizar a + bi se reduce, por tanto, a factorizar su norma en los enteros ordinarios, elevar cada primo racional a Z[i] y extraer los primos gaussianos correspondientes por división exacta.
Dónde son útiles los primos gaussianos estructurados
Los cursos de álgebra y teoría de números introducen Z[i] justo después de la factorización única en los enteros ordinarios, y los estudiantes necesitan un oráculo fiable que separe unidades de primos y trate de forma coherente 1 + i, los primos inertes congruentes con tres módulo cuatro y los primos escindidos congruentes con uno módulo cuatro. Las demostraciones de criptografía que ilustran ideales, normas o ejemplos simples de retículos sobre Z[i] pueden mostrar los factores primos de un elemento de desafío sin levantar un sistema completo de álgebra computacional.
Los cuadernos de investigación y las canalizaciones automatizadas pueden encadenar esta salida en cálculos de mcd, generadores de ideales o ecuaciones de norma.
Qué puede hacer con ella
Tareas y exámenes de álgebra
Compruebe factorizaciones de alumnos de a+bi en primos gaussianos, incluidas unidades y el caso especial de potencias de 1+i.
Corrección automática en concursos y LMS
Califique ítems de factorización de enteros gaussianos con un oráculo determinista que rechaza el cero y devuelve potencias primas ordenadas.
Cuadernos y demostraciones de cripto
Alimente primos estructurados de Z[i] en ecuaciones de norma, ejemplos de ideales o bocetos de criptografía de aula sin instalar un CAS.
Preguntas frecuentes
¿Cómo factorizo un entero gaussiano a + bi?
Envíe los enteros a y b (partes real e imaginaria). La respuesta lista una unidad en {1,−1,i,−i}, potencias de primos gaussianos con exponentes, la norma a²+b² y una cadena de factorización.
¿Por qué se rechaza el cero?
El elemento cero de Z[i] no tiene factorización prima.
¿Es gratuita la calculadora de factorización de enteros gaussianos?
La herramienta del navegador se ejecuta gratis en su dispositivo.
¿Cómo se escriben los primos gaussianos en el resultado?
Cada primo se reduce a un asociado preferido en el primer cuadrante (parte real positiva y parte imaginaria no negativa cuando es posible). Un campo unit separado absorbe la unidad restante para que el producto reconstruya a+bi exactamente.
¿En qué se diferencia de la factorización prima ordinaria?
La factorización prima ordinaria trabaja en Z. Esta herramienta trabaja en Z[i]: el dos puede volverse una potencia de 1+i, los primos ≡ 1 (mod 4) se escinden en pares conjugados y los primos ≡ 3 (mod 4) permanecen primos.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":5,"b":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 5,
"b": 0
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 5,
"b": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":5,"b":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":5,"b":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 5,
"b": 0
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.gaussian_integer_factor",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La vía gratuita del navegador y la API comparten el mismo módulo puro, de modo que las comprobaciones de aula y los clientes de producción nunca discrepan sobre una entrada dada.
Qué devuelve la factorización en primos gaussianos
Este extremo devuelve esa factorización en una forma estable: una unidad preferida, primos ordenados por norma ascendente y luego por partes real e imaginaria, cada primo escrito en el primer cuadrante (parte imaginaria no negativa y parte real positiva cuando es posible), junto con omega (bases primas distintas), big_omega (multiplicidad total), indicadores de unidades y primos gaussianos, y una cadena legible de factorización. La misma ruta determinista alimenta la herramienta gratuita del navegador y la API de pago a $0.002 por solicitud exitosa.
Cómo llamar a la calculadora y leer el resultado
Ejemplos compuestos incluyen el cinco igual a una unidad por (1 + 2i) por (2 + i), el dos igual a una unidad por (1 + i) al cuadrado, y el tres que permanece primo como el primo racional inerte tres. Envíe un objeto JSON con dos campos enteros obligatorios: a (parte real) y b (parte imaginaria). Se aceptan los alias real o re para a, e imag o im para b. Cada parte puede ser un entero JSON o una cadena decimal simple sin comas, espacios ni notación científica, y cada valor absoluto debe permanecer dentro de un millón para que la división de prueba sobre la norma siga siendo práctica. El par (0, 0) se rechaza con invalid_input y nunca se cobra, porque el cero no tiene factorización prima en Z[i]. Unidades como 1, −1, i y −i tienen éxito con un arreglo factors vacío, is_unit true, y la propia unidad en el campo unit. En caso de éxito el cuerpo repite a y b, una cadena gaussiana compacta como 3+4i, la norma decimal, unit y unit_re/unit_im, un arreglo ordenado factors de objetos con re, im, prime, exponent y norm, más omega, big_omega, factorization, is_unit e is_prime. is_prime es true exactamente cuando hay una sola base prima con exponente uno (la entrada es asociada a un primo gaussiano). La validación fallida nunca consume saldo; solo las factorizaciones exitosas facturan el $0.002 publicado.
Dónde son útiles los primos gaussianos estructurados
Los problemas de concurso y los jueces de programación que piden factorización en los enteros gaussianos se benefician de un contrato JSON estable byte a byte en lugar de una cadena libre que el corrector deba interpretar a mano. Use la vía del navegador para exploración interactiva y la API cuando un backend, un notebook o un trabajo por lotes deba factorizar muchos enteros gaussianos bajo un único saldo prepagado del KIT sin suscripción.